Effect of Saturated Complex Site on the Seismic Response of Continuous Long-span Beam Bridges
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摘要: 我国沿海地区大量大跨桥梁位于饱和复杂场地，此类场地通常存在土饱和特性、起伏地形、上覆水层，其对地震波的散射效应将导致地震动空间变化，然而目前缺乏针对此类场地条件的实测地震记录。针对此问题，本文建立了适用于饱和复杂场地大跨桥梁抗震分析的多点地震动模拟方法。首先，基于边界元法求解饱和复杂场地地震动传递函数；然后采用谱表示法生成空间变化人工地震动加速度时程；最后，以五跨连续梁桥为例，开展大跨桥梁地震响应分析，研究局部场地效应、动水压力效应对大跨连续梁桥地震响应的影响规律。结果表明，饱和复杂场地地震动加速度峰值表现出明显的空间变化特性，多点输入可导致饱和场地中地震动峰值加速度放大2～3倍，进而引起墩顶位移较一致地震作用结果增大95%～110%；动水压力可引起墩顶位移、墩底内力增大34%、29%。饱和复杂场地大跨桥梁抗震分析时忽略场地条件对地震动、桥梁地震响应的影响偏于不安全。Abstract: In China, many long-span bridges are situated across saturated complex sites characterized by soil saturation, undulating topography and superimposed water, in which the propagation of seismic waves induces spatial variations in ground motions due to scattering effect. However, the seismic records under such specific site are lack. Addressing this concern, we establish a multi-point ground motion simulation approach to analyze the seismic response of long-span bridges in saturated sites. Initially, the boundary element method is employed to solve the ground motion transfer function of saturated sites. Subsequently, the spectral representation technique is used to synthesize spatially varying ground motion acceleration time-histories. Conclusively, a continuous five-span beam bridge is set as an example, and the seismic response is investigated to study the impact of local site effects and hydrodynamic pressures on the seismic behavior of the continuous beam bridge. The results indicate that the peak ground acceleration in the saturated regions has significantly spatial variances, and multipoint input can cause the peak acceleration of seismic motion in a saturated site to be amplified by 2~3 times. Consequently, situation leads to a 95%~110% increase in the displacement of the pier top compared to the results under uniform ground motions. Furthermore, dynamic hydrodynamic pressure is shown to precipitate pier displacement and internal forces by 34% and 29%, respectively. Disregarding the influence of saturated site conditions when evaluating ground motions and bridge responses for long-span bridges in saturated complex sites tends to engender hazardous outcomes.
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引言
实测数据和震害调查均表明饱和复杂场地对地震波的散射导致空间变化地震动，表现为地震动放大效应（Huang等，1995）。同时，理论研究结果显示，P波、SV波作用下饱和复杂场地响应受入射波频率、流体深度、孔隙率等因素控制，饱和土、起伏地形、上覆水层均将引起复杂的地震波传播特征（李伟华等，2008；李平等，2018；黄磊等，2020；梁建文等，2021）。
我国大量跨河、跨江、近海桥梁建设于饱和复杂场地，如在建中的天津港集输运专用货运通道工程位于天津市滨海新区，且跨越5条河道，其抗震分析应考虑场地效应影响。地震作用下大跨桥梁动力响应求解中涉及的空间变化地震动特性包括局部场地效应、行波效应和相干效应（闫磊等，2019），已有研究通常采用谱表示法模拟空间变化地震动（Zanardo等，2002；Bi等，2012；李丽等，2020），其中常用的地震动加速度功率谱密度函数是基于基岩上覆单一土层假定，且认为基岩输入为白噪声激励，主要参数如中心频率和阻尼比，根据实测地震记录统计而得，未涉及近地表起伏地形、介质横纵向不均匀性、土饱和特性、上覆水层等饱和复杂场地中的重要因素对地震动的影响。为此，部分学者对谱表示法进行了修正，基于一维波动理论求解了基岩和地表点地震动之间的传递函数，并将其应用于位于水平成层场地的大跨度桥梁地震反应分析（Li等，2018），为复杂场地地震动加速度功率谱提供了有效修正。
需要注意的是，河道等局部场地可能存在明显的地表起伏地形，一维波动理论中无法反映其对地震波的散射。针对此问题，李忠献等（2014）基于谱表示法，得到了复杂场地基岩和地表处空间相关多点多维人工地震动模拟方法。Wu等（2016）利用功率谱密度和经验相干损失函数提出了V形对称峡谷中空间变化地震动模拟方法。何颖等（2019）提出了一种考虑地震波散射效应的沉积河谷空间相关多点地震动模拟方法。上述研究均采用二维场地模型、考虑地震波散射效应，重点关注地震动特性，但对于饱和场地研究较少，且未进一步研究其对大跨桥梁地震响应的影响。
鉴于此，本文建立了饱和复杂场地大跨连续梁桥地震响应模拟方法，考察场地效应对桥梁地震响应的影响。采用边界元法求解了SV波作用下饱和复杂场地地震动传递函数以修正地震动加速度功率谱矩阵，基于谱表示法生成墩底多点地震动加速度时程；进而基于有限元法求解了饱和场地深水连续梁桥地震响应，对比了考虑与不考虑场地效应条件下墩底内力和墩顶位移，并分析了动水压力对桥梁地震响应的影响。
1. 饱和复杂场地地震动传递函数
本节给出饱和复杂场地地震动模拟方法，用于求解地震动传递函数。以上覆水层饱和半空间场地为例（图1），饱和场地包括半空间域D0、上覆水层域D1。离散边界如黑色虚线所示，包括半空间地表边界L1、水层和土层交界面L2、水层表面L3。
采用边界元法求解SV波作用下饱和复杂场地地震动。基于Biot饱和两相介质理论，采用单层位势理论，以边界面上虚拟均布荷载模拟饱和半空间内的散射波场，结合边界条件构建方程以求解波源密度，进而求解散射场位移。饱和半空间中总位移场和应力场由自由场和半空间中散射场叠加而得（Liu等，2023），可表示为：
$$ \left\{ \begin{gathered} {u_i}(x) = u_i^{{\rm{f}}} (x) + u_i^{{\rm{s}}} (x) \\ {\sigma _{ij}}(x) = \sigma _{ij}^{{\rm{f}}} (x) + \sigma _{ij}^{{\rm{s}}} (x) \\ {w_i}(x) = w_i^{{\rm{f}}} (x) + w_i^{\text{s}}(x) \\ p(x) = {p^{{\rm{f}}} }(x) + {p^{{\rm{s}}} }(x) \\ \end{gathered} \right. $$ (1) 式中，ui、σij、wi和p分别表示总固相位移、总应力、总流体相对位移和总孔隙水压力；上标f和s分别表示饱和半空间域自由场和散射场。
边界条件包括：（1）孔隙弹性半空间表面应力和孔隙水压力为零；（2）交界面处孔隙水压力连续；（3）交界面处流体位移连续；（4）交界面处正应力连续；（5）交界面处总切向应力为零，表达式为：
$$ \left\{ \begin{gathered} u_x^{{\rm{f}}} = u_x^{{\rm{s}}} \\ u_z^{{\rm{f}}} = u_\textit{z}^{{\rm{s}}} \\ w_{\rm{n}}^{{\rm{f}}} = w_{\rm{n}}^{{\rm{s}}} \\ \sigma _{{\rm{nn}}}^{{\rm{f}}} = \sigma _{{\rm{nn}}}^{{\rm{s}}} \\ \sigma _{{\rm{nt}}}^{{\rm{f}}} = \sigma _{{\rm{nt}}}^{{\rm{s}}} \\ {p^{{\rm{f}}} } - {p^{{\rm{s}}} } = 0 \\ \end{gathered} \right. $$ (2) 式中，ux、uz、wn分别表示x方向固相位移、z方向固相位移、流体相对位移。σnn和σnt分别表示法向应力和切向应力。详细推导过程可参考Liu等（2023）。
SV波作用下饱和场地地表位移幅值可表示为：
$$ u(x,z,\omega ,t) = \left| {u(x,{\textit{z}},\omega )} \right|{{\rm{e}}^{{{i}}\theta (x,z,\omega )}}{{\rm{e}}^{ - {{i}}\omega t}} $$ (3) 式中，|u（x, z, ω）|表示考虑局部场地效应后求解而得的位移幅值的模；θ（x, z, ω）表示波散射和衍射引起的相位特征。
因此，饱和场地地震动传递函数可写为：
$$ H(\omega ) = \frac{{{u_j}({{i}}\omega )}}{{{u_{\text{f}}}({{i}}\omega )}} $$ (4) 式中，uj（iω）为位置j处场地的位移振幅解；uf（iω）表示无起伏地形情况下均匀场地位移幅值解。
2. 饱和复杂场地多点地震动合成方法
基于随机振动理论，m个桥梁桥墩支撑点的地震动加速度功率谱矩阵可表示为：
$$ S\left( \omega \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_{ 11}}(\omega )}&{{S_{ 12}}(\omega )}& \cdots &{{S_{ 1m}}(\omega )} \\ {{S_{ 21}}(\omega )}&{{S_{ 22}}(\omega )}& \cdots &{{S_{ 2m}}(\omega )} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{S_{ m1}}(\omega )}&{{S_{ m2}}(\omega )}& \cdots &{{S_{ mm}}(\omega )} \end{array}} \right] $$ (5) $$ {S_{ kk}}\left( \omega \right) = {S_{ {\rm{gg}}}}\left( \omega \right){\left| {H\left( {{{i}}\omega } \right)} \right|^2} $$ (6) $$ {S_{ kl}}(\omega ) = {\rho _{kl}}(\omega )\sqrt {{S_{ kk}}(\omega ){S_{ ll}}(\omega )} $$ (7) 式中，k, l=1,2，…，m；Sgg（ω）为地震动加速度功率谱，如Kanai Tajimi谱、Clough Penzien谱等；Skk（ω）和Sll（ω）分别为任意点k和l的自功率谱密度函数；Skl（ω）（k≠l）为点k和l之间的互功率谱密度函数；ρkl（ω）为点k和l之间的相干函数，表示为：
$$ {\rho _{kl}}(\omega ) = \left| {{\rho _{kl}}(\omega )} \right|\exp ( - \omega {d_{kl}}/{v_{{{\rm{app}}} }}) $$ (8) 式中，|ρkl（ω）|为相干函数的模；dkl为点k和l之间沿波传播方向的水平距离；vapp为视波速。
地震动加速度功率谱密度矩阵为正半定矩阵，m×m阶矩阵可进行LDLT分解，表达式为：
$$ {\boldsymbol{S}}(\omega ) = {\boldsymbol{LD}}{{\boldsymbol{L}}^{\text{T}}} = {{\boldsymbol{S}}_{{{\boldsymbol{D}}}}}{\boldsymbol{S}}_{{{\boldsymbol{D}}}}^{\text{T}} = \left( {{\boldsymbol{L}}\sqrt {\boldsymbol{D}} } \right){\left( {{\boldsymbol{L}}\sqrt {\boldsymbol{D}} } \right)^{\text{T}}} $$ (9) 任意支撑点m的地震动加速度时程可表示为：
$$ {u_{m,i}}(t) = \sum\limits_{b = 1}^m {\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{\alpha _{mb}}({\omega _k})} } \times \cos ({\omega _k}t + {\theta _{mb}}({\omega _k}) + {\varphi _{bk}}) $$ (10) $$ {\alpha _{mb}}({\omega _k}) = \sqrt {4\Delta \omega } \left| {{l_{mb}}({\omega _k})} \right| $$ (11) $$ {\theta _{mb}}({\omega _k}) = \arctan \frac{{{{\rm{Im}}} ({l_{mb}}({\omega _k}))}}{{{{\rm{Re}}} ({l_{mb}}({\omega _k}))}} $$ (12) 式中，αmb（ωk）和θmb（ωk）分别为点m和参数b第k个频率分量的振幅和相位角；φbk为（0，2π）区间中的随机相位角；lmb（ω）是SD中的元素；Δω表示频率间隔。采用式（9）～式（12）所得地震动为平稳随机过程，结合时间调制函数可进一步考虑地震动非平稳特性。
3. 方法验证
首先对SV波作用下半圆形峡谷弹性半空间地表位移幅值进行退化验证。水深和孔隙率分别取0.001 m和0.0001。无量纲频率定义为η=ωa/πCβ，其中a为峡谷半径，ω为圆频率，Cβ为半空间剪切波速。x/a表示地表点坐标与峡谷半径a的比值。其他参数与Sánchez-Sesma等（1991）一致。图2给出了无量纲频率为2.0时，SV波作用下此场地水平和垂直位移幅值。结果表明，本文结果与Sánchez-Sesma等（1991）结果具有一致性，验证了本文方法求解地震动传递函数的正确性。
然后，验证了通过传递函数和谱表示法合成多点地震动加速度时程的准确性。计算模型如图1所示，6个场地地表点间隔均为85 m，地震动加速度功率谱采用Clough Penzien谱，表达式为：
$$ {S_{ {{\rm{gg}}} }}\left( \omega \right) = \frac{{1 + 4\xi _{{\rm{g}}} ^2{{\left( {\omega /{\omega _{{\rm{g}}} }} \right)}^2}}}{{{{\left[ {1 - {{\left( {\omega /{\omega _{{\rm{g}}} }} \right)}^2}} \right]}^2} + 4\xi _{{\rm{g}}} ^2{{\left( {\omega /{\omega _{{\rm{g}}} }} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{\omega ^4}}}{{{{\left( {{\omega ^2} - \omega _{{\rm{f}}} ^2} \right)}^2} + 4\xi _{{\rm{f}}} ^2\omega _{{\rm{f}}} ^2{\omega ^2}}}{S_0} $$ (13) 式中，S0是谱强度因子；ωg和ξg分别表示中心频率和阻尼比；ωf是滤波层中心频率；ξf是相应的阻尼比。
图3、图4分别给出了地表点1、2、3地震动加速度自功率谱和地表点1与6、2与5、3与4地震动加速度互功率谱，将目标谱与模拟谱进行对比。由图3、图4可知，不同位置点地震动加速度自功率谱、互功率谱的模拟谱与目标谱均吻合良好，表明了此方法的正确性。
图 3 地表点1、2、3地震动加速度自功率谱密度Figure 3. Auto-power spectral density of ground motion acceleration of surface points 1, 2, and 3
图 4 不同地表点间地震动加速度互功率谱密度Figure 4. Cross-power spectral density of ground motion acceleration among different surface points4. 算例
4.1 计算模型
考虑饱和场地为半椭圆形，计算模型同图1，河谷深度为64 m，宽度为340 m。饱和半空间中，剪切波速为1090 m/s，泊松比为0.25，材料阻尼取0.001，基岩密度为2650 kg/m3，土骨架体积模量为36000 MPa，孔隙率取为0.36；流体体积模量为2000 MPa，上覆水层密度1000 kg/m3，压缩波速为1500 m/s。假定SV波入射角度为90°。
本文选用桥梁模型为五跨钢筋混凝土连续梁桥，每跨跨度均为85 m，桥梁模型图如图5所示。主梁宽16.3 m，高3.8 m，截面积为19.2 m2；桥墩墩高分别为6.2、39.1、54.1、54.1、39.1、6.2 m，桥墩截面积为18.944 m2。
基于OpenSees建立桥梁有限元模型，主梁采用弹性梁柱单元模拟，桥墩采用基于位移的纤维梁单元模拟，以考虑桥墩塑性及钢筋配筋情况。主梁与桥墩间的支座采用6个零长度弹簧单元模拟，滑动向刚度计算表达式为：
$$ {F_{\max }} = {\mu _{{\rm{d}}} }R $$ (14) $$ K = \frac{{{F_{\max }}}}{{{x_{\rm{t}}}}} $$ (15) 式中，μd表示摩擦系数，一般为0.02；R代表支座反力；xt为活动支座屈服位移，一般取为0.002 m。
采用C60混凝土，弹性模量为3.60×104 MPa，泊松比为0.2。钢筋屈服应力为400 MPa，弹性模量为2.0×105 MPa。桥墩混凝土和钢筋本构模型、支座本构模型如图6所示。其中，E为支座刚度值；Seps0为初应变，取值为0；SepsP为塑性拉应变，取值为0.002；SepsN为塑性压应变，取值为−0.002。
采用附加质量简化考虑地震动水压力作用。对于矩形柱体桥墩，附加质量可简化为（Wang等，2019）：
$$ \frac{M}{{{m_0}h}} = {p_{11}}{l^{ - {p_{12}}}} + {p_{13}} $$ (16) 式中，M为附加质量；m0为每个单元的质量；h为桥墩在水中的高度；l为截面宽深比；p11、 p12、 p13为动水压力系数，取值参考Wang等（2019）。
4.2 结果与分析
4.2.1 多点和一致地震动加速度时程对比
采用第2节方法求解多点地震动加速度时程（图7），并基于未修正的地震动加速度功率谱求解一致地震动，即未考虑饱和复杂场地效应结果（图8）。由于垂直入射下场地PGA对称，本文仅给出地表点1、2、3结果。结果表明，SV波垂直入射作用下饱和复杂场地效应导致6个地表点PGA存在显著差异；地表点1靠近水平地表，受局部场地影响有限，PGA为0.17 g，与一致地震动结果一致。河谷中部地表点3处的PGA为0.51 g，约为一致地震动结果的3倍；地表点2处PGA为0.36 g，约为一致地震动结果的2.1倍。原因在于，所得多点地震动有效考虑了地震波散射引起的复杂场地效应。综上，复杂场地对地震动有明显的放大效应，引起显著的地震动空间差动效应，因此在进行复杂场地桥梁抗震分析时，应该采用多点输入方式。
4.2.2 多点和一致地震动作用下桥梁地震响应对比
分别将图7、图8所示地震动加速度时程作为桥梁纵向激励，求解五跨连续梁桥地震响应。图9～图11分别给出了多点和一致地震动作用下墩#2和墩#3顶部纵向位移、底部纵向剪力和弯矩结果。
图 9 多点、一致地震动作用下连续梁桥墩顶位移Figure 9. Top displacement of the piers of the continuous beam bridge under multi-support and uniform ground motions
图 10 多点、一致地震动作用下连续梁桥墩底剪力Figure 10. Shear force of the pier bottom of the continuous beam bridge under multi-support and uniform ground motions
图 11 多点、一致地震动作用下连续梁桥墩底弯矩Figure 11. Moments of the pier bottom of the continuous beam bridge under multi-support and uniform ground motions由图9～图11可知，多点地震动作用下，地震动空间差动效应导致不同桥墩地震响应存在差异，且显著高于一致输入的结果。例如，一致地震动作用时，墩#2、墩#3顶部位移峰值分别为0.19、0.22 m，多点地震动作用下，相应结果分别为0.40、0.43 m，增大了110%、95%。墩底内力结果表现出相同特征，虽然多点、一致地震作用下墩底剪力和弯矩峰值出现的时刻近似，但多点地震动作用下墩#3底部剪力峰值与一致地震作用结果相比增长了约33%、弯矩增长了约37%。上述结果表明了饱和复杂场地条件对地震波散射引起的地震动空间差动效应对桥墩地震响应有不同程度的影响，忽略复杂场地条件将低估此类场地大跨桥梁地震响应，偏于不安全。
4.2.3 动水压力对桥梁地震响应的影响
地震作用下饱和复杂场地上覆水层引起动水压力，同样影响桥梁地震响应。图12～图14对比了多点地震动作用下考虑、不考虑动水压力时墩#2、墩#3顶部位移、底部剪力和弯矩结果。由图12～图14可知，动水压力对桥墩墩顶位移和墩底内力均存在影响，且由于各墩入水深度不同、墩底地震动输入强度不同，其影响存在差异。例如，动水压力导致墩#2顶部位移峰值增大20%，墩#3顶部位移峰值则增大约34%。墩底剪力弯矩表现出类似现象，考虑动水压力时，墩#2剪力和弯矩峰值分别增大了18%和25%，而墩#3剪力和弯矩峰值分别增大25%和29%。整体上看，动水压力主要导致桥墩地震响应峰值、振幅变化，对振荡趋势影响有限。
图 12 多点地震动作用下动水压力对连续梁桥墩顶位移的影响Figure 12. Effect of hydrodynamic pressures on the displacement at the pier top of the continuous beam bridge
图 13 多点地震动作用下动水压力对连续梁桥墩底剪力的影响Figure 13. Effect of hydrodynamic pressures on the shear force at the pier bottom of the continuous beam bridge
图 14 多点地震动作用下动水压力对连续梁桥墩底弯矩的影响Figure 14. Effect of hydrodynamic pressures on the moment at the pier bottom of the continuous beam bridge5. 结论
本文基于边界元法和谱表示法建立了饱和复杂场地多点地震动模拟方法，并以大跨连续梁桥为研究对象，开展了地震响应分析，探讨了不同输入方式、动水压力效应对大跨度连续梁桥地震响应的影响。主要结论如下。
（1）采用边界元法求解饱和复杂场地地震动传递函数以修正常用地震动加速度功率谱矩阵，进而生成的多点地震动加速度时程可充分考虑复杂场地条件，用于此类场地大跨度工程结构抗震分析。
（2）地表起伏地形、上覆水层、土饱和特性共同引起地震波散射效应，导致不同地表点地震动加速度峰值表现出明显的空间变化特性。与一致激励相比，多点输入的地震动峰值加速度可放大2～3倍。这是由于多点输入考虑了复杂场地的影响。
（3）饱和复杂场地条件、动水压力效应对连续梁桥地震响应影响显著，所分析算例中，前者可导致墩顶位移、墩底内力较一致地震作用结果增大53.2%、43.7%；后者导致墩顶位移、墩底内力较不考虑动水压力效应的结果增大38.7%、22.8%。饱和复杂场地大跨桥梁抗震分析有必要充分考虑场地条件对地震动、桥梁地震响应的影响。
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图 3 地表点1、2、3地震动加速度自功率谱密度
Figure 3. Auto-power spectral density of ground motion acceleration of surface points 1, 2, and 3
图 4 不同地表点间地震动加速度互功率谱密度
Figure 4. Cross-power spectral density of ground motion acceleration among different surface points
图 9 多点、一致地震动作用下连续梁桥墩顶位移
Figure 9. Top displacement of the piers of the continuous beam bridge under multi-support and uniform ground motions
图 10 多点、一致地震动作用下连续梁桥墩底剪力
Figure 10. Shear force of the pier bottom of the continuous beam bridge under multi-support and uniform ground motions
图 11 多点、一致地震动作用下连续梁桥墩底弯矩
Figure 11. Moments of the pier bottom of the continuous beam bridge under multi-support and uniform ground motions
图 12 多点地震动作用下动水压力对连续梁桥墩顶位移的影响
Figure 12. Effect of hydrodynamic pressures on the displacement at the pier top of the continuous beam bridge
图 13 多点地震动作用下动水压力对连续梁桥墩底剪力的影响
Figure 13. Effect of hydrodynamic pressures on the shear force at the pier bottom of the continuous beam bridge
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