Fragility Analysis of RC Frame Structures Based on Equivalent Linearization Method of SDOF System
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摘要: 通过有限元方法进行非线性动力时程分析获取解析的易损性曲线，计算量大且耗时。本文采用一种简化的计算方法，即基于单自由度的等效线性化模型，对钢筋混凝土框架结构进行地震易损性分析，并研究了该方法在结构高度上的适用性。通过选用5种典型的等效线性化模型对3栋不同高度的钢筋混凝土框架结构进行增量动力分析（IDA），得到了不同高度的结构在不同强度地震作用下结构的反应和易损性，并与OpenSees程序的计算结果进行对比，研究了等效线性化模型应用于RC框架结构易损性分析在高度上的适用性。分析结果表明：对于10层及以下的框架结构，基于单自由度的等效线性化模型在结构地震易损性分析中具有较好的适用性；对于更高层数的结构，由于高阶振型反应对整体结构反应的影响增大，基于单自由度等效线性化模型的易损性分析结果会出现明显的偏差。Abstract: Obtaining the analytical fragility curves through nonlinear dynamic time history analysis of FEA model is computationally intensive and time-consuming. In this paper, we used a simplified calculation method, namely the equivalent linearization method based on single degree of freedom, to analyze the seismic vulnerability of reinforced concrete frame structures and the applicability of this method for structures with different heights. The incremental dynamic analysis (IDA) for three reinforced concrete frame structures with different heights was carried out by using five typical equivalent linearization methods. The response and vulnerability of structures with different heights under different earthquakes were obtained. Compared with the results of OpenSees program, the applicability of the equivalent linearization method to the vulnerability analysis of RC frame structure is investigated. The result shows that for RC structures with height less than 10 stories, the equivalent linearization method based on single degree of freedom has good applicability for structural seismic vulnerability prediction. For higher structures, the influence of the high-order mode response on the overall structural response increases and the vulnerability analysis result based on the single-degree-of-freedom equivalent linearization method shows a significant deviation.
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Key words:
- RC frame structure /
- Equivalent linearization /
- Single degree of freedom /
- IDA /
- Fragility
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引言
地震风险分析包括地震危险性分析、地震易损性分析和地震灾害损失估计3个方面。地震易损性是指在给定地震强度水平下，结构反应达到或者超越某种破坏状态的条件概率。易损性分析是地震风险分析中连接地震危险性分析和地震灾害损失估计的重要步骤。易损性的估计方法主要有经验方法和解析方法（周奎等，2011） ，经验方法主要依赖于专家经验，解析方法主要采用动力非线性计算方法。当前对于易损性的估计越来越依赖于计算机（Ellingwood等，2007）。基于性能的抗震设计采用了全概率模型，要求结构的反应具有概率的含义，即结构的易损性要具有概率的含义。传统的静力非线性方法如能力谱方法，虽然不同大小的反应谱值代表了不同发生概率的地震动，但是反应谱方法得到的结构性能是确定的，因此传统的静力非线性方法难以适用于基于性能的结构易损性估计。一般通过计算机采用动力非线性方法计算结构反应的概率分布，进而得到解析的易损性曲线。解析易损性的主要缺点在于计算工作量较大且耗时久（周奎等，2011）。若有近似方法来计算结构的动力反应，既可以得到结构反应的概率分布，同时结果又能够达到足够的精度，那么就可以大大减少计算量。
等效线性化方法是将非线性单自由度体系等效成具有等效周期和等效阻尼比的线性体系，并进行最大非线性位移反应求解（苏亮等，2011），是一种适用于抗震性能设计、计算结构非线性地震峰值响应的工程实用化方法（曲哲等，2010），国内外已有大量相关研究。Rosenblueth等（1964）基于简谐荷载作用下单自由度系统的双线性滞回模型，首先提出了利用最大变形处的割线刚度来确定系统周期的变化，并利用运动循环滞回曲线所围成的面积与阻尼消耗能量相等的关系，确定了等效阻尼比。Gulkan等（1974）指出在地震荷载作用下多数时间内位移远小于最大反应，因此Rosenblueth和Herrea确定的等效阻尼比值过大，导致对最大位移反应的估计偏小。Gulkan和Sozen利用最大变形处的割线刚度确定等效周期，运用Takeda滞回模型结合振动台实验，得到关于等效阻尼比的经验公式。Shibata等（1976）将单自由度系统的等效线性化方法扩展到多自由度系统，提出了著名的等代结构法。Iwan（1980）利用弹性单元和库仑滑动单元的组合得到滞回模型，并利用12条地震动记录进行时程分析，得到了等效周期和等效阻尼比的经验公式。Kowalsky（1994）利用最大变形处的割线刚度确定系统等效周期的变化，并利用Takeda滞回模型得到了等效阻尼比。Mirand等（2002）对5种等效线性化模型结果和弹塑性时程反应结果进行了对比研究，指出不同等效线性化模型的精度。Lin等（2008）和Miranda等（2004）利用强度折减系数，计算不同周期和不同强度折减系数的单自由度系统的最大反应，对比弹塑性时程反应结果，通过统计方法得到了基于强度的等效线性化经验公式。Goda等（2010）研究了不同地震类型、地震区域以及Bouc-Wen滞回模型不同参数对等效线性化参数的影响，并通过统计方法得到了基于强度折减系数的等效线性化模型。FEMA-440（FEMA，2005）基于ATC-40 （ATC，1996）反应谱法规定的流程，利用等效线性化方法改进了等效周期和等效阻尼比的计算公式。
李妍等（2005）对5种等效线性化模型的计算精度进行了统计分析，研究了不同延性、不同结构周期以及不同阻尼比对这些方法计算精度的影响。曲哲等（2011）分析了结构周期、延性系数以及恢复力模型等因素对等效线性化模型的影响，并通过对大量地震动记录下动力弹塑性分析结果的拟合，提出了能够综合反映各方面参数影响的单自由度等效线性化模型。苏亮等（2011）提出了一种确定等效线性化模型系统参数的标准粒子群优化算法。曲哲等（2010）将等效线性化方法应用于多自由度结构，对结构中的构件进行等效线性化，利用振型分解反应谱法计算结构的峰值反应。
从等效线性化方法研究的现状可以看出，对于等效线性化的研究大多集中于等效线性化模型的参数求解和不同等效线性化模型的比较，对于将等效线性化方法用于实际结构地震反应分析的研究较少，也缺少将等效线性化方法应用于结构易损性分析的研究。本文将利用多条地震动记录，采用5种典型的等效线性化模型对不同高度的钢筋混凝土框架结构进行增量动力分析（IDA），得到不同高度的结构在不同强度地震作用下的反应和易损性，并与OpenSees程序分析的结果进行比较，研究将单自由度等效线性化模型应用于钢筋混凝土框架结构的地震易损性分析在高度上的适用性。
1. 等效线性化方法
等效线性化方法是指利用一个拥有较低刚度（或者较长自振周期）和较高阻尼比的等效线弹性结构来估计原非线性结构在地震作用下的最大变形反应，使原非线性结构的最大变形反应与等效线弹性结构的最大变形反应相等。
如图1所示，非线性单自由度系统在水平地震作用下的运动方程为：
$$ \ddot x + 2{\xi _0}{\omega _0}\dot x + \frac{{F(x)}}{m} = - {\ddot x_{\rm{g}}} $$ (1) 式中，
$x$ 为质点相对于地面的位移，${\ddot x_{\rm{g}}}$ 为地面的加速度；$m$ 为质点的质量；${\xi _0}$ 为阻尼比；$F(x)$ 为系统的恢复力；${\omega _0}$ 为自振圆频率。$$ {\omega _0} = \sqrt {\frac{{{k_0}}}{m}} = \frac{{2{\text{π}} }}{{{T_0}}} $$ (2) 式中，
${k_0}$ 和${T_0}$ 分别为系统的初始刚度和自振周期。在等效线性化模型中，系统的最大反应（由式1求出）用一个等效线性系统的最大反应
${x_{\rm{eq}}}$ 来近似，等效线性系统的运动方程如下：$$ {\ddot x_{\rm{eq}}} + 2{\xi _{\rm{eq}}}{\omega _{\rm{eq}}}{\dot x_{\rm{eq}}} + \omega _{\rm{eq}}^2{x_{\rm{eq}}} = - {\ddot x_{\rm{g}}} $$ (3) 式中，
${\xi _{\rm{eq}}}$ 和${\omega _{\rm{eq}}}$ 为等效线性系统的阻尼比和自振圆频率。等效周期和等效阻尼比的合理取值是保证等效线性化方法求解精度的关键（苏亮等，2011）。参考李妍等（2005）关于不同等效线性化模型的介绍，本文选取以下5种典型的等效线性化模型进行线性动力时程分析，然后根据计算结果获取结构的地震易损性曲线，并与有限元分析非线性动力时程结果进行对比。
Rosenblueth and Herrera（以下简称“R&H”）：如图2所示，采用最大变形处的割线刚度来计算系统的等效周期，并利用运动循环滞回曲线所围成的面积等于阻尼消耗的能量，确定等效阻尼比（图3）。由图2和图3可以推导出等效周期和等效阻尼比的计算公式：
$$ \frac{{{T_{\rm{eq}}}}}{{{T_0}}} = \sqrt {\frac{{{k_0}}}{{{k_{\rm{s}}}}}} = \sqrt {\frac{\mu }{{1 - \alpha + \alpha \mu }}} $$ (4) $$ {\xi _{\rm{eq}}} = {\xi _0} + \frac{2}{{\text{π}} }\left[ {\frac{{(1 - \alpha )(\mu - 1)}}{{\mu - \alpha \mu + \alpha {\mu ^2}}}} \right] $$ (5) 式中，
${k_0}$ 为初始刚度；${k_{\rm{s}}}$ 为割线刚度；$\alpha $ 为屈服后刚度系数；$\mu $ 为延性系数，即实际最大位移${x_{\rm{m}}}$ 和屈服位移${x_{\rm{y}}}$ 的比值。当屈服后刚度系数
$\alpha = 0$ ，式（4）、（5）可分别表示为：$$ \frac{{{T_{\rm{eq}}}}}{{{T_0}}} = \sqrt {\frac{{{k_0}}}{{{k_{\rm{s}}}}}} = \sqrt \mu $$ (6) $$ {\xi _{\rm{eq}}} = {\xi _0} + \frac{2}{{\text{π}} }\left( {1 - \frac{1}{\mu }} \right) $$ (7) Gulkan and Sozen（以下简称“G&S”）：采用割线刚度法计算结构的等效周期，等效周期计算同式（4），阻尼比为经验公式：
$$ {\xi _{\rm{eq}}} = {\xi _0} + 0.2\left( {1 - \frac{1}{\mu }} \right) $$ (8) Kowalsky：采用与式（4）相同的割线刚度法计算结构的等效周期，等效阻尼比由Takeda模型得到：
$$ {\xi _{\rm{eq}}} = {\xi _0} + \frac{1}{{\text{π}} }\left( {1 - \frac{{1 - \alpha }}{{\sqrt \mu }} - \alpha \sqrt \mu } \right) $$ (9) Iwan：采用统计方法拟合得到等效周期和等效阻尼比的经验公式：
$$ \frac{{{T_{\rm{eq}}}}}{{{T_0}}} = 1 + 0.121{(\mu - 1)^{0.939}} $$ (10) $$ {\xi _{\rm{eq}}} = {\xi _0} + 0.0587{(\mu - 1)^{0.371}} $$ (11) 2. 简化的单自由度模型
要进行基于单自由度等效线性化模型的易损性分析，首先需要得到结构简化的单自由度模型。多自由度系统在地震作用下的运动方程为：
$$ {\boldsymbol{M\ddot U}} + {\boldsymbol{C\dot U}} + {\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{U}}) = - {\boldsymbol{MI}}{a_{\rm{g}}} $$ (12) 式中，
${\boldsymbol{M}}$ 、${\boldsymbol{C}}$ 分别为质量矩阵和阻尼矩阵；${\boldsymbol{U}}$ 为位移列向量；${\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{U}})$ 为恢复力列向量；${\boldsymbol{I}}$ 为单位列向量，${a_{\rm{g}}}$ 为输入地震动。将
${\boldsymbol{U}}$ 按照N个振型${{\boldsymbol{\varphi }}_n}$ 分解，令${\boldsymbol{U}}{\text{ = }}\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{q_n}} {{\boldsymbol{\varphi }}_n}$ ，假设阻尼矩阵关于振型正交，由振型的正交性可以得到：$$ {\ddot q_n} + 2{\xi _n}{\omega _n}{\dot q_n} + \frac{{{\boldsymbol{\varphi }}_n^{\rm{T}}{\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{U}})}}{{{M_n}}} = - {\Gamma _n}{a_{\rm{g}}} $$ (13) 式中，
${\Gamma _n}$ 为振型参与系数，${\Gamma _n} = \dfrac{{{\boldsymbol{\varphi }}_n^{\text{T}}{\boldsymbol{MI}}}}{{{M_n}}}$ ；${M_n}$ 为n阶振型质量，${M_n} = {\boldsymbol{\varphi }}_n^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{\varphi }}_n}$ 。当高阶振型在结构总体反应中的贡献不明显时，可以只考虑一阶反应，则式（13）可表示为：$$ {\ddot q_1} + 2{\xi _1}{\omega _1}{\dot q_1} + \frac{{{\boldsymbol{\varphi }}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{U}})}}{{{M_1}}} = - {\Gamma _1}{a_{\rm{g}}} $$ (14) 式（14）为多自由度系统简化后得到的单自由度系统在水平地震作用下的运动方程，
$ {\boldsymbol{\varphi }}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{U}})/{M_1} $ 为等效单自由度系统的恢复力。令${q_n} = {\Gamma _n}{D_n}$ ，则式（14）可表示为：$$ {\ddot D_1} + 2{\xi _1}{\omega _1}{\dot D_1} + \frac{{{\boldsymbol{\varphi }}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{U}})}}{{{\Gamma _1}{M_1}}} = - {a_{\rm{g}}} $$ (15) 式（15）即为等效单自由度系统在水平地震作用下的标准运动方程，其恢复力
$ {f_{\rm{s}}} = \dfrac{{{\boldsymbol{\varphi }}_1^{\rm{T}}{\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{U}})}}{{{\Gamma _1}{M_1}}} $ 。由静力推覆分析得到
${f_{\rm{s}}}\sim{D_1}$ 的关系并将其化简为双折线形式，再利用得到的双折线恢复力-位移关系，即可应用等效线性化模型计算得到等效单自由度系统在地震作用下的最大位移反应${D_{1\_{\rm{max}}}}$ 。最后根据等效单自由度系统的最大位移${D_{1\_{\rm{max}}}}$ 即可计算得到结构的最大顶点位移${\Delta _{{\rm{roof}}}}$ 。对广义的力-位移曲线的双折线化参考ATC-40（ATC，1996）中的方法，如图4所示。本文采用OpenSees程序对结构进行静力推覆分析，获取等效单自由度系统的力-位移关系，侧向荷载按照楼层质量乘以一阶振型的比例加载。3. 结构模型与等效单自由度系统
为检验采用不同等效线性化模型进行结构易损性分析的精度及其在结构高度上的适用性，设计3栋不同高度的RC框架结构，高度分别为5层、10层和15层，根据《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）（中华人民共和国住房和城乡建设部等，2010）、《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ 3—2010）（中华人民共和国住房和城乡建设部，2011 ）的要求进行设计，满足我国现行抗震设计规范。主要设计参数如下：建筑场地二类，抗震设防烈度为8度，设计基本地震加速度0.2 g，设计地震分组第2组，框架抗震等级2级。结构平面尺寸均相同，且首层层高均为4.5 m，其余层高为3.6 m，结构平面和5层结构侧立面如图5所示。混凝土强度等级为C30，梁、柱截面受力主筋选用HRB335，箍筋选用HPB235，楼面荷载为4.0
${\text{KN/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$ 。楼板厚度为120 mm，梁截面尺寸为$350 \times 600$ mm，柱截面尺寸及配筋如表1所示。表 1 柱尺寸及配筋Table 1. Sizes and reinforcement of columns
5层结构1层 2层 3～5层 
500×500 mm 500×500 mm 500×500 mm
10层结构1～3层 4～5层 6～8层 9～10层 
700×700 mm 700×700 mm 650×650 mm 650×650 mm
15层结构1层 2～7层 8～15层 
700×700 mm 700×700 mm 650×650 mm 采用OpenSees程序对结构进行静力推覆和增力动量分析（IDA）以获取结构的等效单自由度模型和非线性动力时程结果。由于结构平面对称，因此仅选用中间的一榀框架进行分析。梁柱采用基于位移的纤维截面梁柱单元进行模拟。混凝土材料选用Concret 01，钢筋材料选用Steel 02，屈服后强度比b值取0.01，本构曲线从弹性到塑性转变的控制参数R0取18，其他参数取默认值。
通过OpenSees计算得到结构的基本自振周期分别为0.703 s、1.047 s和1.788 s，通过SAP2000验算得到结构的基本自振周期分别为0.753 s、0.932 s和1.894 s。二者计算结果相近，验证了OpenSees计算模型的合理性。
4. 地震记录选取及结构易损性分析
4.1 地震记录选取
有学者曾做过研究，对于中等高度的建筑，选取10~20条地震记录进行增量动力分析可以得到较为精确的地震需求估计（吴巧云等，2012）。对于结构的破坏影响较大的都是大地震，且等效线性化模型进行计算时速度较快，综合考虑以上因素，本文通过NGA数据库挑选了相当于二类场地的66条震级大于6.5级、断层距小于35km的地震记录，用于增量动力分析（IDA），地震动记录详见耿飞（2013）。
4.2 易损性分析
结构的易损性表示结构在不同强度地震作用下，结构的反应达到或超越某种破坏状态的条件概率。为了得到结构的易损性，首先需经过增量动力分析（IDA）得到结构在不同地震强度下的最大反应，然后确定结构最大反应的概率分布情况，最后结合定义的结构破坏状态即可得到结构的易损性。
4.2.1 结构概率地震反应分析
对结构进行IDA分析，采用不同等效线性化模型和OpenSees程序计算在不同峰值加速度（PGA）的地震输入下结构的反应。不同结构在不同强度地震作用下，顶点位移的统计均值和最大层间位移角的统计均值关系如图6所示。图中等效线性化模型计算的层间位移角由单自由度模型的最大顶点位移根据一阶振型求出，因此等效线性化模型计算出的最大顶点位移曲线和最大层间位移角曲线的形状相同。若真实结构仅有一阶振型反应，则图中OpenSees计算得到的最大顶点位移和最大层间位移角曲线形状应该相同。通过比较OpenSees和其他几种等效线性化模型计算得到的最大顶点位移和最大层间位移角曲线的相对位置，可以看出：（1）相对于OpenSees计算结果，R&H方法和退化方法总是低估了结构的最大顶点位移，G&S方法和Kowalsky方法总是高估了结构的最大顶点位移反应，Iwan方法和OpenSees计算出的顶点位移结果相近。（2）随着结构高度的增加，OpenSees计算的最大层间位移角相较其它5种等效线性化模型不断增大。（3）随着高度增加，OpenSees计算的最大层间位移角曲线形状相对于最大顶点位移曲线形状开始发生变化，且这种变化随着高度的增加而增大，这说明高阶振型的影响随着高度的增加而增大。
图 6 顶点位移统计均值和最大层间位移角统计均值关系图Figure 6. The relationship between mean values of roof displacement and mean values of inter-story drift ratio本文结构的地震反应参数由最大层间位移角
${\theta _{\rm{d}}}$ 表示。通过对IDA的结果进行对数回归分析，可以得到结构的最大层间位移反应${\theta _d}$ 均值与地震动的峰值加速度PGA成对数线性关系：$$ \ln ({\theta _{\rm{d}}}) = {{a}}\ln ({\rm{PGA}}) + {{b}} $$ (16) 式中，a、b为参数。根据不同等效线性化模型、不同高度结构的计算结果对公式（16）拟合得到参数a、b和标准差
$\beta $ （表2） 。通过对比标准差$\beta $ 可以看出，10层结构地震反应的对数标准差明显较5层结构大，15层结构地震反应的对数标准差和10层结构相比变化不大，OpenSees计算结果的对数标准差最小。表 2 对数回归分析的参数结果Table 2. Results of parameters from logarithmic regression analysis层数 方法 a b $\beta $ 5
层R&H 0.83676 −4.0223 0.4665 退化 0.82756 −4.0423 0.4591 G&S 1.0745 −3.4258 0.6621 Kowalsky 1.0226 −3.5449 0.6149 Iwan 0.92018 −3.7250 0.5102 OpenSees 1.0078 −3.7162 0.4922 10
层R&H 0.89648 −4.2811 0.6235 退化 0.88171 −4.3166 0.5990 G&S 0.99393 −3.9680 0.7445 Kowalsky 0.96367 −4.0314 0.7292 Iwan 0.93816 −4.0919 0.6768 OpenSees 0.97903 −4.0231 0.4738 15
层R&H 0.92646 −4.5607 0.6187 退化 0.91607 −4.5822 0.6051 G&S 0.99907 −4.3595 0.7181 Kowalsky 0.97238 −4.3966 0.6967 Iwan 0.94396 −4.3783 0.7116 OpenSees 0.90681 −4.0942 0.4959 4.2.2 易损性曲线
由于结构的破坏和最大层间位移角密切相关，因此本文将结构的最大层间位移角和结构的破坏状态对应起来。参考李应斌等（2003）关于结构破坏状态的定义，本文所采用的结构极限破坏状定义如表3所示。在给定地震强度PGA=
$x$ 的条件下，结构反应${\theta _{\rm{d}}}$ 达到或超过某种破坏状态${\theta _{\rm{c}}}$ 的概率为：表 3 结构破坏状态对应的最大层间位移角Table 3. The maximum inter-story drift ratio corresponding to the damage states of the structure破
坏
状
态轻
微
破
坏中
等
破
坏严
重
破
坏
倒
塌层间位移角$\theta $ 0.002 0.005 0.01 0.02 $$ F(x) = P({\theta _{\rm{d}}} \geqslant {\theta _{\rm{c}}}|{\rm{PGA}} = x)$$ (17) 在给定地震动强度条件下，
${\theta _{\rm{d}}}$ 服从对数正态分布$ N\sim({\overline \mu _{\ln {\theta _{\rm{d}}}}},{\beta _{\rm{d}}}) $ ，可以得到结构对应特定破坏状态的失效概率为：$$ F(x) = 1 - \Phi \left( {\frac{{\ln {\theta _{\rm{c}}} - {{\overline \mu }_{\ln {\theta _{\rm{d}}}}}}}{{{\beta _{\rm{d}}}}}} \right) $$ (18) 式（18）即为易损性函数，其中
${\overline \mu _{\ln {\theta _{\rm{d}}}}}$ 为结构反应对数的均值。将式（16）和表2中的参数、表3定义的破坏状态代入式（18）即可得到结构对特定破坏状态的失效概率。不同结构采用不同方法计算得到的易损性曲线如图7所示。通过对比不同结构在不同破坏状态下的易损性曲线可知：对5层结构，相较于OpenSees计算结果，R&H方法和退化方法低估了结构的易损性，G&S方法和Kowalsky方法高估了结构的易损性，Iwan方法和OpenSees计算结果最接近，说明不同的等效线性化模型结果具有明显的差异。对于10层结构，OpenSees计算结果不再一直介于5种等效线性化模型的结果之间，随着地震强度的增大，OpenSees计算得到的易损性结果逐渐大于5种等效线性化模型的结果。对于15层结构，随着地震强度的增大，OpenSees计算得到的易损性结果明显大于5种等效线性化模型的结果。
对于5层结构， Iwan模型的结果和OpenSees计算得到的易损性结果最为接近，等效线性化模型的估计结果准确。对于10层结构，5种等效线性化模型的计算结果和OpenSees计算结果之间出现偏差，可以大致的估计出结构易损性。对于15层结构，5种等效线性化模型的计算结果和OpenSees计算结果之间有着明显差别，此时用等效线性化模型估计结构的易损性会出现明显偏差。综上，随着结构高度的增加，结构地震反应中高阶振型反应的影响逐渐增大，而基于单自由度的等效线性化模型无法考虑高阶振型的影响，从而低估了结构的最大地震反应和易损性。因此当结构的高度超过一定程度时，单自由度等效线性化模型难以适用于易损性估计。
5. 结论
本文主要采用5种基于单自由度的等效线性化模型和OpenSees程序分别对5层、10层和15层共3栋结构进行IDA分析，得到了不同地震强度下结构的最大反应以及不同破坏状态下的易损性曲线。通过对结果进行分析比较，得到基于单自由度等效线性化模型的易损性分析在高度上的适用性。主要的结论如下：
（1）不同等效线性化模型的计算结果差别明显，模型选择对结果准确性具有重要影响。Iwan模型对于高阶振型影响不大的结构计算结果较为准确，且计算结果偏于保守。从平均值看，由统计方法得到的等效线性化公式结果要优于各种基于半理论的模型。
（2）随着结构高度增加，高阶振型的影响越来越大且不可忽略，当结构高度达到一定程度时，基于单自由度的等效线性化模型会过低的估计结构的反应而造成对易损性的低估。
（3）对于10层以下结构，Iwan模型和OpenSees计算得到的易损性曲线差别不大，等效线性化模型适用于结构的易损性估计；对于10层以上结构，由于高阶振型的影响较大，等效线性化模型估计结构的易损性会逐渐出现较大的误差。
（4） 对于10层及以下的钢筋混凝土框架结构，用等效线性化模型估计结构易损性可以在保证结果精度的同时大大减少计算量，是一种实用的计算方法。
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图 6 顶点位移统计均值和最大层间位移角统计均值关系图
Figure 6. The relationship between mean values of roof displacement and mean values of inter-story drift ratio
表 1 柱尺寸及配筋
Table 1. Sizes and reinforcement of columns
5层结构1层 2层 3～5层 
500×500 mm 500×500 mm 500×500 mm
10层结构1～3层 4～5层 6～8层 9～10层 
700×700 mm 700×700 mm 650×650 mm 650×650 mm
15层结构1层 2～7层 8～15层 
700×700 mm 700×700 mm 650×650 mm 
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表 2 对数回归分析的参数结果
Table 2. Results of parameters from logarithmic regression analysis
层数 方法 a b $\beta $ 5
层R&H 0.83676 −4.0223 0.4665 退化 0.82756 −4.0423 0.4591 G&S 1.0745 −3.4258 0.6621 Kowalsky 1.0226 −3.5449 0.6149 Iwan 0.92018 −3.7250 0.5102 OpenSees 1.0078 −3.7162 0.4922 10
层R&H 0.89648 −4.2811 0.6235 退化 0.88171 −4.3166 0.5990 G&S 0.99393 −3.9680 0.7445 Kowalsky 0.96367 −4.0314 0.7292 Iwan 0.93816 −4.0919 0.6768 OpenSees 0.97903 −4.0231 0.4738 15
层R&H 0.92646 −4.5607 0.6187 退化 0.91607 −4.5822 0.6051 G&S 0.99907 −4.3595 0.7181 Kowalsky 0.97238 −4.3966 0.6967 Iwan 0.94396 −4.3783 0.7116 OpenSees 0.90681 −4.0942 0.4959
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表 3 结构破坏状态对应的最大层间位移角
Table 3. The maximum inter-story drift ratio corresponding to the damage states of the structure
破
坏
状
态轻
微
破
坏中
等
破
坏严
重
破
坏
倒
塌层间位移角$\theta $ 0.002 0.005 0.01 0.02
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