An Analytical Natural Frequency Solution of Monopile Offshore Wind Turbine Considering Pile-soil Interaction
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摘要: 海上风机结构系统频率是海上风机结构和基础设计考虑的关键因素之一，桩-土相互作用对海上风机结构系统频率影响显著。基于欧拉-伯努利梁理论和传递矩阵方法，考虑水-桩-土相互作用及塔筒变截面特性，建立单桩式海上风机结构系统横向振动自振频率特征方程；将桩-水相互作用等效为附加质量、桩-土相互作用等效为线性弹簧，变截面塔筒等效为多段均匀梁，利用MATLAB中fsolve函数求解固有频率。通过与有限元分析结果进行对比，验证本文方法精度与有效性，并将本文方法应用于实际工程中，研究桩基础埋深、上部质量、转动惯量和桩-水相互作用对单桩式海上风机结构系统自振频率的影响。Abstract: The frequency of offshore wind turbine system is one of the pivotal factors that needs to be considered during the design of the structure and foundation. Based on the Euler-Bernoulli beam theory and transfer matrix method, the characteristic equation of natural vibration frequency are established by considering the water-pile-soil interaction and variation of cross-sectional geometry of the wind turbine tower. The pile-water interaction is equivalent to additional mass, the pile-soil interaction is equivalent to linear spring and the cylinder with variable section is equivalent to a multi-section uniform beam in this model. And then the equation is solved by 'fsolve' function in MATLAB. The accuracy and validity of the proposed method are verified against the finite element results. Finally, the influence of foundation depth, upper mass, rotational inertia and pile-water interaction on natural frequency of monopile offshore wind turbine is discussed for practical engineering.
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Key words:
- Offshore wind turbine /
- Monopile /
- Natural frequency /
- Pile-soil interaction /
- Analytical solution
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引言
近几十年来，盾构隧道作为重要的城市交通轨道，在地震区的建设日益增多，考虑其对社会和经济的重要性，开展盾构隧道抗震性能及抗震设计方法研究非常必要（陈国兴等，2016）。在1989年美国加州Loma Prieta地震（Sharma等，1991）、1995年日本神户地震（杜修力，2018a）、1999年台湾集集地震（Wang等，2001）和2008年汶川地震（崔光耀等，2011）等地震中，山岭隧道、地铁车站及地铁隧道等地下结构物受到了强烈破坏（Sharma等，1991；Wang等，2001；崔光耀等，2011；杜修力，2018a），这些地震均属于近场地震（朱育才，2012），其竖向地震动加速度均较大。但是，目前的地下结构抗震设计规范均为基于水平单向地震或竖向单向地震的抗震设计方法，如我国的《城市轨道交通结构抗震设计规范》（中华人民共和国住房和城乡建设部，2014）基于反应位移法，分别给出地下结构抗震设计中的水平向设计地震动参数和竖向设计地震动参数，并未考虑水平向及竖向同时作用下的设计地震动参数，而前文所述近场地震记录中，水平向和竖向的地震动加速度都比较大，地下结构在水平及竖直双向地震同时作用下遭到了严重的破坏，因此有必要对盾构隧道在双向地震作用下的灾害机理进行深入研究，进而指导盾构隧道的抗震设计。
目前，国内外学者通过模型试验、数值分析和解析解计算（Sedarat等，2009；Cilingir等，2011；赵武胜等，2012；Kouretzis等，2013），对盾构隧道的地震反应进行了大量研究，且取得了丰富的成果。研究结果表明，在单向水平地震动（以下简称“H地震动”）作用下，单线圆形隧道主要产生“ovalling”变形，隧道最大的地震附加内力发生在拱肩处，地震附加内力值大小与土-结相对刚度、隧道埋深、地震强度及频谱特性、土-结接触面约束强度、地震波入射角度等因素相关，对于双线隧道还与隧道之间的相对位置相关。在单向竖向地震动（以下简称“V地震动”）作用下，单线圆形隧道也主要产生“ovalling”变形，隧道最大的地震附加内力发生在拱顶、拱底及拱腰处，地震附加内力值大小的影响因素与单向H地震动一样。但是，已有研究主要偏向于隧道在均一土层中仅受单向H地震动或V地震动作用的地震载荷响应，很少考虑隧道在H地震动和V地震动同时（以下简称双向地震动）作用下的地震荷载响应。
基于上述分析，本文基于某实际双线盾构隧道工程，通过有限元数值计算方法，对盾构隧道在单、双向地震动作用下的地震响应特点进行分析研究，分析中考虑隧道间距、土-结接触面的摩擦系数、土-结相对刚度、输入的地震记录和竖向地震动相对强度对隧道地震响应的影响，总结各影响因素对盾构隧道地震响应的作用规律，并对隧道在单、双向地震动作用下的地震响应特点进行对比。
1. 工程背景
选择某城市轨道交通双线盾构隧道，两隧道管线处于同一水平面且并行布置，工程场地土层分布从上至下依次含有填土、黏性土、粉质黏土、砂质黏性土、中粗砂、砂层、砾质黏性土和花岗岩，土层分布示意图和土层具体信息分别如图 1（a）、表 1所示，其中，表 1中的参数A、B、r0均为Davidenkov模型的相关参数。盾构隧道管线的埋深H为8m（隧道顶面到地表距离），两隧道中心之间的距离S为12m。另外，盾构隧道的衬砌环由6块混凝土等级为C60的预制钢筋混凝土管片通过螺栓连接构成，隧道管片的相应参数如表 2所示。
图 1 有限元模型示意图及各土层动剪切模量比和阻尼比随剪应变变化图Figure 1. Schematic diagram of the finite element model and the relation curves of dynamic shear module ratio and damp ration shear strain for soils表 1 土层的相应参数Table 1. Corresponding parameters of soil layers土层类别 厚度/m 初始剪切模量/MPa 密度/×103 kg·m-3 A 2B r0 /×10-4 泊松比 黏性土 18 50.67 1.94 1.12 0.82 9.00 0.35 砂质黏性土 4 100.84 1.98 1.00 0.76 7.38 0.32 中粗砂 5 149.73 1.98 1.00 0.70 9.67 0.30 砂层 13 300.84 1.98 1.10 0.74 9.50 0.30 砾质黏性土 16 361.57 1.96 1.20 0.74 10.03 0.30 表 2 隧道管片的相应参数Table 2. Corresponding parameters of the tunnel segments杨氏模量/GPa 泊松比 密度/kg·m-3 外径/m 厚度/m 35.5 0.2 2600 6.2 0.35 2. 数值模拟方法
基于ABAQUS软件显示模块开发的VUMAT材料子程序，可有效实现上述土体的动力非线性特征有限元计算分析，程序详细介绍见赵丁凤等（2017）的研究，本文基于赵丁凤等的研究对初始剪切模量的定义进行改进，改进后的初始剪切模量Gmax与围压相关（式1），土层的相应参数通过室内共振柱试验确定（表 1），各土层动剪切模量比和阻尼比随剪应变的变化如图 1（b）所示。
$${G_{\max }} = {G_0}{p_{\rm{a}}}{\left({\frac{p}{{{p_{\rm{a}}}}}} \right)^n}$$ (1) 式中，p、pa分别为围压和标准大气压；G0、n均为土层的拟合参数，参数G0通过表 1的土层初始剪切模量及各土层中心围压拟合而得，拟合参数n取0.5。为合理考虑土体在小应变时的阻尼特性，采用阻尼比为5%的瑞利阻尼。
接触面采用ABAQUS中的面对面接触，法向为硬接触，允许接触面法向脱开，禁止土体与隧道之间的相互穿透，切向为Coulomb摩擦接触。为研究在地震荷载作用下，土-结接触面相互约束情况对土-结相互作用的影响，通过调整接触面摩擦系数来改变土-结接触面的约束情况，摩擦系数越大则土-结之间的约束越强（赵丁凤等，2017）。
盾构隧道模型借鉴修正惯用法采用整环来模拟（Lee等，2001），我国很多学者基于盾构隧道管片的原型试验对刚度有效率η进行研究分析，给出了针对特定情况下该参数的取值建议（黄宏伟等，2006）。本文通过改变隧道刚度值来研究土-结相对刚度对土-结相互作用的影响，因此在基本分析中隧道横截面抗弯刚度有效率η取为1。
本文所建立的数值有限元网格模型如图 1所示，模型尺寸为长（Y向）1m、宽（X向）100m、高（Z向）56m，该有限元模型的网格满足计算精度要求（楼梦麟等，1999）。土体和隧道分别采用实体单元C3D8R和厚壳单元SC8R进行模拟，由于本文的分析为类平面应变问题，模型的Y向法向约束，侧面采用“Periodic Boundary Condition（PBC）”边界（Law等，2001；Lu等，2011），该边界是将两侧的边界采用“tie”约束相互绑定，保证左右两个侧面在相同高度和长度位置处的对应节点所有自由度的运动完全一致，底边界为基岩面，直接按地震记录的加速度时程施加强制运动（苗雨等，2014；杜修力等，2018b）。“PBC”边界已被大量研究证明能很好地实现对侧边界无限域的模拟，并在土-结相互作用的数值模拟分析研究（Abate等，2017；Zhang等，2017）中被广泛采用。
模拟过程分2步：
（1）对已建好的场地-隧道整体模型施加重力，进行地应力平衡分析；
（2）在模型底边界施加所选取的真实近场地震的基岩表面加速度时程。
通过第（1）步求得模型的地应力场，作为第（2）步的静力初始条件；第（2）步施加的近场地震记录为ChiChi、Loma、Mammoth和WoLong，其水平及竖向加速度时程和水平标准加速度反应谱如图 2所示为对比不同近场地震记录对场地中盾构隧道结构的作用，将各近场地震记录的H地震动和V地震动的加速度峰值进行同比例缩放，使各近场地震记录中的H地震动加速度峰值保持一致，调整后的各近场地震记录中的水平和竖向加速度峰值及竖向相对于水平向加速度幅值的比值如表 3所示。在无特殊说明情况下，本文的数值模拟模型双线隧道的水平间距S=3D（D为隧道直径），土-结接触面摩擦系数µ=0.8，各近场地震记录的H地震动加速度峰值为0.2g。
图 2 近场地震记录的水平地震动、竖向地震动加速度时程和水平加速度反应谱Figure 2. Acceleration time histories of the horizontal and vertical ground motions and horizontal acceleration response spectra of the near-field seismic records表 3 近场地震记录加速度幅值Table 3. Acceleration amplitudes of the near-field seismic records近场地震记录 水平向加速度峰值/g 竖直向加速度峰值/g 竖直/水平 Arias intensity/m·s-1 Loma 0.2 0.106 0.53 0.32 ChiChi 0.2 0.132 0.66 0.88 Mammoth 0.2 0.056 0.28 0.09 WoLong 0.2 0.200 1.00 0.54 3. 结果及分析
3.1 隧道间距的影响
已有研究表明在单向地震动作用下，隧道间距大于3倍的隧道直径时，隧道之间的相互作用基本可以忽略（Balendra等，1984）。本文为研究在双向地震作用下隧道间距S对隧道内力的影响，将隧道间距依次取为S=2D、3D、4D，分析对比各间距下的计算结果与土层只有单个隧道的计算结果。由于在不同近场地震记录的地震动作用下，隧道间距对隧道内力的影响规律一致，因而只给出Loma波作用的情况，对比结果如图 3所示（本文所示附加弯矩和附加轴力图均表示沿隧道纵向每延米的弯矩和轴力），图中H表示近场地震记录中的水平地震动，V表示近场地震记录中的竖向地震动，“Single”表示单线隧道。由于左、右线隧道的地震附加内力具有对称性，因此只给出左线隧道的地震附加内力图进行分析。由图 3中可发现在双向地震动作用下，当隧道间距为3D时，双线隧道与单线隧道的地震反应几乎一致，可认为当隧道间距达到3倍隧道直径时，隧道之间的影响可忽略不计。
图 3 Loma地震记录双向地震动作用下不同隧道间距的附加内力Figure 3. Additional internal forces of tunnel linings with different tunnel spacings under the loading of Loma seismic record3.2 接触面摩擦系数及竖向地震动的影响
土-结接触面摩擦系数µ分别设置为0.1、0.3、0.5、0.8和1.2，隧道最大附加内力随摩擦系数的变化如图 4所示，在单向地震动作用下，最大附加弯矩随摩擦系数的增加而减小，最大附加轴力随摩擦系数的增加而增加，这与Sedarat等（2009）的线性及非线性有限元分析得到的结论基本一致。在双向地震动作用下，隧道最大附加内力随摩擦系数增加的变化趋势与单向地震动作用类似，但最大附加内力值大于单向地震动作用下的最大附加内力值。在单、双向地震动作用下，当摩擦系数小于0.5时，接触面摩擦系数对隧道最大附加内力的影响较大，当摩擦系数达到0.8之后，接触面摩擦系数对最大附加内力的影响基本可以忽略，相对于附加弯矩，附加轴力受接触面摩擦系数的影响更显著。
图 4 不同的土-结接触面摩擦系数下的隧道最大附加内力变化曲线（Loma地震记录作用下）Figure 4. The variation curves of maximum additional internal forces of the tunnel with different friction coefficients of the contact surface between the soil and tunnel(Under the loading of Loma seismic record)3.3 土-结相对刚度的影响
图 5为Loma地震记录作用下隧道最大附加内力与隧道刚度的关系图，从图中可以发现不管是单向还是双向地震动作用，隧道最大附加内力均随着隧道刚度的增加而增加，即随着土-结相对刚度的减小而增加，隧道最大附加内力与土-结相对刚度呈现线性的关系，其中最大附加弯矩相对于轴力受土-结相对刚度的影响更加明显。因此，在满足隧道承载能力和变形要求的前提下，采用合适的隧道刚度可以减轻隧道的地震破坏。
图 5 隧道最大附加内力与隧道刚度的关系（Loma地震记录作用下）Figure 5. The relationship between the maximum additional internal forces of the lining and the lining stiffness(Under the loading of Loma seismic record)3.4 不同输入地震动的影响
图 6和图 7分别为不同近场地震记录作用下隧道的附加弯矩和附加轴力图，由图可知，在ChiChi、Loma、WoLong和Mammoth地震记录的单向地震动作用下，隧道最大附加弯矩、轴力从大到小分布，且均出现在隧道拱肩处，除在ChiChi地震记录的H地震动作用下，隧道拱顶和拱底处的附加正轴力相对较大外，隧道拱顶、拱底及拱腰处的附加弯矩、轴力均较小。不同近场地震记录的双向地震动作用下，由于V地震动的存在，相对于单向地震动作用，隧道最大附加弯矩、轴力分布发生较大变化，隧道的附加轴力明显增加，但隧道附加弯矩除在ChiChi地震记录作用下增加较明显外，Loma、WoLong和Mammoth地震记录作用下附加弯矩变化均不大。
图 6 不同近场地震记录作用下隧道的附加弯矩Figure 6. The additional bending moments of the lining under the loadings of different near-field seismic records
图 7 不同近场地震记录作用下隧道的附加轴力Figure 7. The additional axial forces of the lining under the loading of different near-field seismic records为分析相同加速度峰值的各近场地震记录对隧道的地震响应作用机理，本文研究了土层自由场的地震响应与施加地震动的频谱特性之间的关系。
图 8（a）为土层自由场在加速度峰值均为0.2g、不同频率的简谐地震动单向和双向作用下，土层自由场表面（S）和土层自由场对应隧道中心深度处（C）的水平向加速度放大系数与简谐地震动频率之间的关系图，图中后缀0.3和0.66分别表示在双向地震动作用下，V地震动加速度峰值与H地震动加速度峰值比V/H为0.3和0.66的情况。由图 8（a）可知，在单向地震动作用下，土层自由场的卓越频率在0.6Hz左右，在双向地震动作用下，随着V/H值的增大，地震动的高频成分对土层自由场的地震响应影响增大，且土层自由场对应隧道中心深度处的地震响应受V/H值的影响更加显著。图 8（b）是各近场地震记录中的H地震动标准加速度反应谱，由图可知ChiChi地震记录的水平加速度反应谱波峰所对应的频率更接近土层自由场的卓越频率，其后依次是Loma、WoLong和Mammoth地震记录。因此，土层自由场对应隧道拱顶至拱底深度处的平均水平加速度放大系数，在Mammoth、WoLong、Loma和ChiChi地震记录的作用下地震反应强度依次增大（图 9），根据地下结构抗震计算的拟静力计算方法中有限元反应加速度法可知（刘如山等，2007），隧道拱顶至拱底深度处对应土体的加速度越大，离散到有限元模型各节点上的体力也越大，从而对隧道的地震作用也越强，因此隧道在Mammoth、WoLong、Loma和ChiChi地震记录的单向地震动作用下地震响应也依次增大。另外，在各近场地震记录的双向地震动作用下，由于各近场地震记录的地震动频谱特性和V/H值均不同（表 3），相对于单向地震动作用，双向地震动作用下隧道的附加内力、最大附加内力及其分布均变化较大。
图 8 土层加速度放大系数和标准加速度反应谱分析Figure 8. The analysis of soil acceleration amplification coefficient and standard acceleration response spectrum
图 9 不同近场地震记录的水平地震动作用下，土层自由场各深度处的水平加速度放大系数Figure 9. The horizontal acceleration amplification coefficients of the free field under the loadings of the horizontal ground motions of different near-field seismic records3.5 竖向地震动相对强度的影响
由前面的分析可知，双向地震动作用下，地震动加速度峰值比V/H对土层自由场的地震响应影响较大，为研究V地震动相对强度即加速度峰值比V/H对隧道附加内力的影响，本文选取Wolong地震记录，通过调整V地震动加速度峰值改变V/H的值进行分析。分析结果如图 10、图 11所示，图中0.2V、0.4V、0.6V、0.8V和V分别表示加速度峰值比V/H分别为0.2、0.4、0.6、0.8和1的情况。
图 10 隧道在Wolong地震记录的不同竖向地震动相对强度作用下的附加内力Figure 10. Additional internal forces of the lining with different V/H ratios of the WoLong seismic inputs
图 11 Wolong地震记录作用下不同的竖向地震动相对强度下隧道的最大附加内力和土层自由场最大平均剪应变Figure 11. Variation trends of maximum additional internal forces of the lining and maximum average shear strain of the free field under loading of Wolong seismic record图 10为隧道在Wolong地震记录的不同V地震动相对强度作用下的附加内力图，由图可知，隧道的附加弯矩随V地震动相对强度的增加而增加，整体变化较小，但隧道的附加轴力随V地震动相对强度的增加变化较大，隧道拱顶、拱底和拱腰处的附加轴力随V地震动相对强度的增加呈现明显增加，隧道拱肩处的附加正轴力随V地震动相对强度的增加而增加，而附加负轴力随V地震动相对强度的增加呈现先减小后增加的趋势，表明隧道拱肩处随着V地震动相对强度增加趋向于受拉状态。
图 11为隧道最大附加内力和最大平均剪应变随V地震动相对强度的变化，由图 11（a）可知，隧道最大附加弯矩和最大附加正轴力均随V地震动相对强度的增加而增加，但最大附加负轴力随V地震动相对强度的增加先减小后增加。由图 11（b）可知，土层自由场的最大平均剪应变随V地震动相对强度的增加而减小，Wang（1993）和Penzien等（1998）提出单向H地震动作用下隧道附加内力的解析解理论，认为隧道的最大附加内力与最大平均剪应变之间为线性正相关关系，而在双向地震动作用下，虽然随V地震动相对强度的增加最大平均剪应变减小，但隧道最大附加弯矩和最大附加正轴力均增加。
图 12是不同近场地震记录下隧道在单向和双向地震荷载作用下的最大附加内力图，由图可知在各近场地震记录的单向地震动作用下，隧道最大附加内力与最大平均剪应变呈近似线性正相关的关系，这与Wang和Penzien等的解析解理论一致。最大平均剪应变近似为对应隧道拱顶和拱底相应高度处的土层自由场最大水平相对位移与隧道外径的比值δ/D（如图 1所示，土层高度H1与H2处的最大水平相对位移δ与隧道外径D的比值）。在双向地震动作用下，当V地震动相对强度较小时，隧道最大附加内力与最大平均剪应变也可近似为线性关系；当V地震动相对强度逐步增加，土体的剪切模量也逐步增大时，虽然最大相对剪应变逐步减小，但是土体剪切变形产生的剪应力对隧道的作用增大，从而隧道最大附加弯矩逐步增大。同时，隧道周围土体的惯性力对隧道的围压作用随着V地震动相对强度的逐步增加而增加，在隧道周围土体的剪应力和围压共同作用下，隧道最大附加正轴力逐渐增大，最大附加负轴力先减小后增大。因此，在双向地震动作用下，当V地震动相对强度较小时，可通过土层自由场的最大平均剪应变近似计算隧道的附加内力，但当V地震动相对强度较大时，进行抗震设计时不能仅通过最大平均剪应变来近似计算隧道的最大附加内力，否则计算得到的隧道附加内力误差可能会很大，尤其是附加轴力（如图 12（b）中的红色虚线框所示）。
图 12 不同近场地震记录下隧道在单向和双向地震荷载作用下最大附加内力Figure 12. The maximum additional internal forces of the lining under unidirectional and bidirectional loads resulted by different near-field earthquake records4. 结论
本文应用非线性有限元模型进行数值模拟分析，研究双线盾构隧道在水平地震动及竖向地震动同时作用下的地震响应，分别考虑了隧道间距、土-结接触面的约束强度、地震动作用情况、竖向地震动相对强度和土-结相对刚度对隧道地震附加内力的影响，并与仅有单向水平地震动作用的情况进行对比分析，得出以下结论：
（1）隧道的地震响应与所在土层特性、输入地震动记录的频谱特性及地震动作用情况等相关，在双向地震动作用下，由于竖向地震动的作用，隧道附加内力和最大附加内力及其分布均不同于单向地震动作用的情况，因此在近场地震区进行隧道结构抗震设计时需考虑含竖向地震动的双向地震动作用；
（2）隧道的附加弯矩随竖向地震动相对强度的增加而增加，整体上变化较小，但隧道的附加轴力随竖向地震动相对强度的增加变化较大，且随着竖向地震动相对强度的增大，隧道拱肩趋于受拉状态。整体上，在双向地震动作用下，隧道附加弯矩主要受地震动频率特性影响，而隧道附加轴力受竖向地震动相对强度的影响较大。因此进行抗震设计时，在双向地震动作用下，不能简单以竖向地震动加速度峰值与水平地震动加速度峰值的比值是否小于2/3，而将隧道的地震响应简化为单向水平地震动作用，仅通过最大平均剪应变来近似计算隧道的最大附加内力；
（3）在双向地震动作用下，同一水平位置并行的双线盾构隧道间的相互作用随隧道间距的增加而减小，当隧道间距大于3倍隧道外径时，隧道间的相对作用可以忽略不计；
（4）无论是单向地震动作用还是双向地震动作用，随着土-结接触面摩擦系数增大，隧道附加弯矩和附加轴力分别呈减小和增大趋势，当摩擦系数小于0.5时，接触面摩擦系数对隧道最大附加内力的影响较大，当摩擦系数达到0.8后，接触面摩擦系数对隧道最大附加内力的影响基本可以忽略，相对于附加弯矩，附加轴力受接触面摩擦系数的影响更明显；
（5）无论是单向水平地震动作用还是双向水平地震动及竖向地震动同时作用，隧道的附加内力均随土-结相对刚度的减小而增加，且附加内力与土-结相对刚度呈近似线性的关系，同时，土-结相对刚度对隧道附加弯矩的影响更大，在满足隧道承载能力和变形要求的前提下，采用合适的隧道刚度可以减轻隧道的地震破坏。
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图 3 桩基础埋深对结构一阶自振频率的影响
Figure 3. Influence of pile length on natural vibration frequency
图 5 上部结构转动惯量对结构一阶自振频率的影响
Figure 5. Influence of rotary inertia on natural vibration frequency
图 6 截面转动惯量对结构一阶自振频率的影响
Figure 6. Influence of section inertia on natural vibration frequency
图 7 桩-水相互作用对结构一阶自振频率的影响
Figure 7. Influence of hydraulic added on natural vibration frequency
表 1 NREL-5MW基准风机刚性地基模型验证
Table 1. Verification of NREL-5MW rigid foundation model
频率验证 频率/rad·s-1 一阶 二阶 三阶 解析解 5.09 23.93 59.94 数值解 5.12 24.14 60.25 误差/% 0.54 0.85 0.52 
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表 2 NREL-5MW基准风机桩-土相互作用模型验证
Table 2. Verification of NREL-5MW pile-soil interaction model
频率验证 频率/rad·s-1 一阶 二阶 三阶 解析解 1.456 10.963 29.210 数值解 1.443 10.725 28.493 误差/% 0.902 2.213 2.515
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表 3 Welney 1S 3.6MW风机桩-土相互作用模型一阶自振频率对比
Table 3. Verification of Welney 1S 3.6MW pile-soil interaction model
频率验证 实测值 Arany等（2015） 解析解 频率/rad·s-1 0.350 0.331 0.3484 误差/% — 5.429 0.457
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