Seismic Energy Response Analysis of Simple Supported Beam Bridge
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摘要: 利用有限元软件SAP2000建立了某公路简支梁桥的有限元模型，以7条典型强震记录为输入，研究了公路简支梁桥的地震能量响应及其分配规律。结果表明：①地基柔性效应对公路简支梁桥的地震能量响应及其分配规律的影响较小；②当场地土质变软时，地震总输入能、结构阻尼耗能和结构阻尼耗能比均呈递增趋势，而结构滞回耗能和结构滞回耗能比则不断减小，即地基土体作为桥梁动力系统的一部分，增大了系统阻尼，并分担了部分非弹性变形；③随着PGA增大，输入结构的地震能量也增加，导致塑性铰的非弹性变形增加，即结构滞回耗能和结构阻尼耗能增大。Abstract: SAP2000 is used to build the finite-element analysis (FEA) model of one simple supported beam bridge. By inputting seven typical ground motions, the seismic energy response and its distribution are analyzed based on seismic energy response equation. The results are obtained as followings:①Effect of flexible foundation on seismic energy response and its distribution of simple supported beam bridge is less. ②As site become soften, the input seismic energy, hysteretic energy dissipation and hysteretic energy dissipation ratio increases, but damping energy dissipation and damping energy dissipation ratio decreases. It is because that damping is increased along with the foundation soil which can share part of inelastic deformation. ③With increasing of PGA, input seismic energy increases. As the result, the inelastic deformation of plastic hinge increases. It suggests that the hysteretic energy dissipation and damping energy dissipation increases too.
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引言
Housener（1956）提出了地震响应分析的能量方法，随后国内外很多学者开展了结构地震能量相关的研究。肖明葵（2004）根据单位质量的实际结构和等效SDOF体系的滞回耗能相等的原则，识别等效弹塑性SDOF体系的屈服位移。经杰等（2003）根据剪切型MDOF体系的非线性时程分析结果，研究了楼层间的地震能量分布的特点，并解释了能量集中现象的原因，进而提出了能量集中楼层的非线性位移计算方法。卜一等（2009）对9个高层混合结构进行了非线性时程分析，得到了滞回耗能比与结构最大层间位移的关系，并分析了地震动特性对滞回耗能比的影响，进而总结了高层混合结构的滞回耗能比的变化规律。刘哲锋等（2009）研究表明，结构滞回耗能比随PGV、PGA和地震动幅值的增大而增大，而混凝土剪力墙承载力与钢框架比值的增加则会降低结构的滞回耗能比。李宇（2010）研究了MDOF桥梁结构的地震能量响应及分配规律，并以某客运专线双柱式桥墩为工程实例，研究了土-结构相互作用对铁路桥梁地震能量响应的影响。Chou等（2003）建议了框架结构基于能量的抗震性能评估法，并给出了相应的计算步骤，并以某工程实例验证方法的合理性。Surahman（2007）研究了结构抗震设计的地震能量需求和能力，并将其用于实际的工程中。Arroyo等（2007）给出了估算SODF系统滞回耗能的方法，为快速求解地震能量响应提供了参考。Amiri等（2008）基于总输入能和瞬时输入能的原理给出了MDOF系统地震易损性评估，进而在结构的地震能量分析中引入了概率的元素。
本文在前人的研究基础上，基于结构的地震能量响应方程，利用有限元软件SAP2000建立了某公路简支梁桥的有限元模型，通过输入7条典型强震记录，研究了公路简支梁桥的地震能量响应及其分配规律。
1. 结构的地震能量响应方程
多自由度（MDOF）结构的运动方程为（经杰等，2003）：
$$ \left[ M \right]\left\{ {\ddot x\left(t \right)} \right\} + \left[ C \right]\left\{ {\dot x\left(t \right)} \right\} + \left[ K \right]\left\{ {x\left(t \right)} \right\} = - \left[ M \right]\left\{ r \right\}\left\{ {{{\ddot x}_g}\left(t \right)} \right\} $$ (1) 式中，$\left\{ {{{\ddot x}_g}\left(t \right)} \right\}$为地震动的加速度；$\left\{ {\ddot x\left(t \right)} \right\}、\left\{ {\dot x\left(t \right)} \right\}$和$\left\{ {x\left(t \right)} \right\}$为相对加速度、相对速度和相对位移；[K]为刚度矩阵；[M]为质量矩阵；[C]为阻尼矩阵。
式（1）的两端对$\left\{ {x\left(t \right)} \right\}$积分，得到：
$$ \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}} \left[ M \right]\left\{ {\ddot x\left(t \right)} \right\} + \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}} \left[ C \right]\left\{ {\dot x\left(t \right)} \right\} + \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}\left[ K \right]\left\{ {x\left(t \right)} \right\}} \\ = - \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}\left[ M \right]\left\{ {\ddot x\left(t \right)} \right\}} $$ (2) 设EK(t)为动能、ED(t)为阻尼耗能、EH(t)+ES(t)为弹性势能和滞回耗能之和、EI(t)为地震输入能，则有：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {E_K}\left(t \right) = \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}} \left[ M \right]\left\{ {\ddot x\left(t \right)} \right\}\\ {E_D}\left(t \right) = \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}} \left[ C \right]\left\{ {\dot x\left(t \right)} \right\}\\ {E_H}\left(t \right) + {E_S}\left(t \right) = \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}\left[ K \right]\left\{ {x\left(t \right)} \right\}} \\ {E_I}\left(t \right) = - \int_0^t {{{\left\{ {dx\left(t \right)} \right\}}^T}\left[ M \right]\left\{ {\ddot x\left(t \right)} \right\}} \end{array} \right. $$ (3) $$ {E_I}\left(t \right) = {E_K}\left(t \right) + {E_D}\left(t \right) + {E_H}\left(t \right) + {E_S}\left(t \right) $$ (4) 2. 工程实例及有限元建模
某Ⅱ类场地的简支梁桥（王建民，2006）如图 1所示。上部结构为跨径30m的五跨等截面预应力混凝土简支箱梁；圆截面独柱墩（图 2）采用C30混凝土，纵筋为60根Φ32的HRB335钢筋，箍筋采用R235钢筋（体积配箍率0.5%）；刚性扩大基础为边长5m的正方形，厚度2m，基底埋深4m，采用C25混凝土。
以1#墩为例，采用有限元软件SAP2000建立单墩模型（图 2）。
（1）将上部结构作为集中质量（530.7×103kg）施加于截面质心（盖梁向上1.1m），建立刚臂单元与盖梁相连。
（2）根据《公路桥梁抗震设计细则》（JTG/TB02-01—2008）（中华人民共和国交通运输部，2008）计算墩底塑性铰长度：
$$ {L_P} = 0.08H + 0.022{f_y}{d_s} = 1.5{\rm{m}} \ge 0.044{f_y}{d_s} $$ (5) 式中，H为墩高（cm）；fy为纵筋的抗拉强度标准值（MPa）；ds为纵筋直径（cm）。
（3）采用XTRACT软件计算塑性铰截面的弯矩-曲率（M-φ）曲线（图 3）。
从美国太平洋地震工程研究中心（PEER）强震库挑选了Ⅱ类场地、断层距0—15km、震级6.2—7.1级的7条强震记录（表 1）作为输入。
表 1 地震动记录参数Table 1. Parameters of ground motions序号 记录名称 断层距/km 震级 场地 PGA/g PGV/m·s-1 PGD/m Ⅱ-1 RSN4458_MONTENE.GRO_ULO090 3.97 7.1 Ⅱ 0.25 0.490 0.196 Ⅱ-2 RSN6886_DARFIELD_CACSN40E 14.48 7.0 Ⅱ 0.19 0.294 0.294 Ⅱ-3 RSN6886_DARFIELD_CACSN50W 7.58 7.0 Ⅱ 0.20 0.490 0.490 Ⅱ-4 RSN6897_DARFIELD_DSLCN27W 7.29 7.0 Ⅱ 0.26 0.392 0.294 Ⅱ-5 RSN6911_DARFIELD_HORCN18E 5.07 7.0 Ⅱ 0.45 1.078 0.490 Ⅱ-6 RSN6960_DARFIELD_RHSCN86W 13.64 7.0 Ⅱ 0.19 0.294 0.196 Ⅱ-7 RSN8124_CCHURCH_RHSCS04W 9.05 6.2 Ⅱ 0.25 0.294 0.098 3. 地震能量响应的时程曲线
将地震波Ⅱ-1的峰值加速度（PGA）调整到0.4g作为输入，计算公路简支梁桥（刚性和柔性地基）的地震能量响应时程曲线（图 4），由图 4可知：
图 4 简支梁桥的地震能量响应时程曲线Figure 4. Energy response time-history curves of simple supported beam bridge（1）EK(t)和ES(t)先增后减，并且很快消失；
（2）EI(t)、EH(t)和ED(t)一直增加，并在地震结束后达到极值；
（3）每一瞬时，EI(t)=EK(t)+ED(t)+EH(t)+ES(t)；
（4）公路简支梁桥主要通过EH(t)和ES(t)来消耗地震能量，但会产生较大的损伤；
（5）地基柔性效应只改变公路简支梁桥地震能量响应的数值，而不影响它们的变化趋势。
4. 地基柔性效应的影响
当考虑桩-土共同作用，可以采用《公路桥涵地基与基础设计规范》（JTGD63—2007）（中华人民共和国交通运输部，2007）中的“m法”，其基本原理是将柱作为弹性地基梁，桩侧土层按照Winkler假定，求解挠曲微分方程，再结合力的平衡条件，得出桩各部位的内力和位移。在此基础上，利用SAP2000的弹簧单元来模拟柔性地基，其转动、平动和耦合刚度根据“m法”计算，再将表 1中7条地震动的PGA调幅为0.6g并作为输入，计算出刚性和柔性地基的单墩有限元模型的地震能量响应（图 5、图 6）。由图可知，地基柔性效应对公路简支梁桥的地震能量响应及其分配规律的影响较小。
图 5 地基柔性效应对简支梁桥地震能量响应的影响Figure 5. Effect of flexible foundation on seismic energy response of simple supported beam bridge
图 6 地基柔性效应对简支梁桥地震能量分配的影响Figure 6. Effect of flexible foundation on seimic energy response distribution of simple supported beam bridge5. 场地类型的影响
利用FEMA356（American Society of Civil Engineers，2000），考虑地基柔性效应的方法计算了Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地不同剪切波速所对应的地基土弹簧刚度（表 2，Ⅰ类场地按固结处理），并建立了相应的单墩有限元模型。
表 2 各类场地柔性地基模型的土弹簧刚度Table 2. Stiffness of soil-spring of flexible models at four sites场地 剪切波速/m·s-1 有效剪切模量/MPa 平动刚度/kN·m-1 转动刚度/kN·m·rad-1 Ⅱ 375 212.8 150.83×105 56.33×106 Ⅲ 200 57.9 39.98×105 14.93×106 Ⅳ 115 13.9 8.52×105 3.18×106 将表 1中7条地震动的PGA调幅为0.4g作为输入，计算出不同场地条件下公路简支梁桥的地震能量响应平均值（表 3），从中可知，当剪切波速值减小时（即场地土质条件变软时），EI(t)、ED(t)和λD(t)均呈递增趋势，而EH(t)和λH(t)则不断减小。其原因为，随着场地的变软，地基土非弹性变形增多，塑性铰滞回变形则减少；同时，当地基土体作为桥梁动力系统的一部分后，结构的系统阻尼将会增大，导致ED(t)和λD(t)的增加。
表 3 场地类型对简支梁桥的地震能量响应及分配规律的影响Table 3. Effect of site on seimic energy response and its distribution场地 剪切波速/m·s-1 基阶周期T/s 地震总输入能EI/kN·m 滞回耗能EH/kN·m 阻尼耗能ED/kN·m 滞回耗能比λH/% 阻尼耗能比λD/% Ⅰ 750 1.02 688.64 270.62 418.02 39.30 60.70 Ⅱ 375 1.08 733.10 282.98 450.12 38.60 61.40 Ⅲ 200 2.36 1100.22 225.52 874.70 20.50 79.50 Ⅳ 115 4.73 1176.15 138.59 1037.56 11.78 88.22 6. PGA的影响
将表 1中7条地震动的PGA分别调幅为0.1g、0.2g、0.3g、0.4g，输入至单墩有限元模型，计算PGA对公路简支梁桥地震能量响应的影响（图 7）。由图 7可知，随着PGA增大，EI(t)、EH(t)和ED(t)不断增大。其原因为PGA越大，地面运动越激烈，输入结构的地震能量EI(t)也越多，进而导致结构非弹性变形（EH(t)、ED(t)）的增加。
图 7 PGA对简支梁桥地震能量响应的影响Figure 7. Effect of PGA on seimic energy response of simple supported beam bridge图 8反映了PGA对公路简支梁桥地震能量分配规律的影响，由图可知：
图 8 PGA对简支梁桥地震能量分配规律的影响Figure 8. Effect of PGA on seimic energy response distribution of simple supported beam bridge（1）当PGA=0.1g时，λH(t)和λD(t)的均值为9.78%和92.22%，即在Ⅶ度设计地震下，桥梁依靠阻尼消耗地震能量，且结构非弹性变形很小；
（2）当PGA=0.2g时，λH(t)和λD(t)的均值为14.11%和85.89%，即在Ⅷ度设计地震下，桥梁非弹性变形增加，塑性铰消耗的地震能量不断增加；
（3）当PGA=0.3g时，λH（t）和λD(t)的均值为28.80%和71.20%，即此时塑性铰的滞回耗能能力不断增加；
（4）当PGA=0.4g时，λH(t)和λD(t)的均值为59.43%和40.57%，即在Ⅸ度设计地震下，EH(t)已超过了ED(t)，塑性铰的耗能作用已经十分突出，桥梁此时的损伤也已经很严重。
7. 结论
本文研究了公路简支梁桥的地震能量响应及其分配规律，结果表明：
（1）地基柔性效应对公路简支梁桥的地震能量响应及其分配规律的影响较小。
（2）当场地土质变软时，EI(t)、ED(t)和λD(t)均呈递增趋势，而EH(t)和λH(t)则不断减小。由此可见，当地基土体作为桥梁动力系统的一部分后，增大了系统阻尼，并分担了部分非弹性变形。
（3）随着PGA增大，EI(t)也增加，导致塑性铰的非弹性变形增加，即EH(t)和ED(t)增大。由此可见，PGA是影响结构地震能量响应的重要因素，其增大将会导致地震总输入能量的增加，进而使塑性铰产生更多的滞回耗能以消耗地震能量。
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图 4 简支梁桥的地震能量响应时程曲线
Figure 4. Energy response time-history curves of simple supported beam bridge
图 5 地基柔性效应对简支梁桥地震能量响应的影响
Figure 5. Effect of flexible foundation on seismic energy response of simple supported beam bridge
图 6 地基柔性效应对简支梁桥地震能量分配的影响
Figure 6. Effect of flexible foundation on seimic energy response distribution of simple supported beam bridge
图 7 PGA对简支梁桥地震能量响应的影响
Figure 7. Effect of PGA on seimic energy response of simple supported beam bridge
图 8 PGA对简支梁桥地震能量分配规律的影响
Figure 8. Effect of PGA on seimic energy response distribution of simple supported beam bridge
表 1 地震动记录参数
Table 1. Parameters of ground motions
序号 记录名称 断层距/km 震级 场地 PGA/g PGV/m·s-1 PGD/m Ⅱ-1 RSN4458_MONTENE.GRO_ULO090 3.97 7.1 Ⅱ 0.25 0.490 0.196 Ⅱ-2 RSN6886_DARFIELD_CACSN40E 14.48 7.0 Ⅱ 0.19 0.294 0.294 Ⅱ-3 RSN6886_DARFIELD_CACSN50W 7.58 7.0 Ⅱ 0.20 0.490 0.490 Ⅱ-4 RSN6897_DARFIELD_DSLCN27W 7.29 7.0 Ⅱ 0.26 0.392 0.294 Ⅱ-5 RSN6911_DARFIELD_HORCN18E 5.07 7.0 Ⅱ 0.45 1.078 0.490 Ⅱ-6 RSN6960_DARFIELD_RHSCN86W 13.64 7.0 Ⅱ 0.19 0.294 0.196 Ⅱ-7 RSN8124_CCHURCH_RHSCS04W 9.05 6.2 Ⅱ 0.25 0.294 0.098 
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表 2 各类场地柔性地基模型的土弹簧刚度
Table 2. Stiffness of soil-spring of flexible models at four sites
场地 剪切波速/m·s-1 有效剪切模量/MPa 平动刚度/kN·m-1 转动刚度/kN·m·rad-1 Ⅱ 375 212.8 150.83×105 56.33×106 Ⅲ 200 57.9 39.98×105 14.93×106 Ⅳ 115 13.9 8.52×105 3.18×106
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表 3 场地类型对简支梁桥的地震能量响应及分配规律的影响
Table 3. Effect of site on seimic energy response and its distribution
场地 剪切波速/m·s-1 基阶周期T/s 地震总输入能EI/kN·m 滞回耗能EH/kN·m 阻尼耗能ED/kN·m 滞回耗能比λH/% 阻尼耗能比λD/% Ⅰ 750 1.02 688.64 270.62 418.02 39.30 60.70 Ⅱ 375 1.08 733.10 282.98 450.12 38.60 61.40 Ⅲ 200 2.36 1100.22 225.52 874.70 20.50 79.50 Ⅳ 115 4.73 1176.15 138.59 1037.56 11.78 88.22
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