引言

历次破坏性地震的震害经验、强震观测数据以及理论分析结果均表明，局部地形显著影响着地震动的特性，进而显著影响震害的程度及其空间分布。已有的研究结果表明，局部地形对地震波的散射是一个复杂的动力学过程，输入地震动类型（脉冲、人工地震动、天然地震动）、输入地震波波型（SH、SV、P波等）、入射角度、地形几何参数（宽度、高度、坡角等）、材料参数（剪切波速、介质阻尼等）以及相邻地形动力相互作用等各种因素均会对地形放大效应产生重要影响。不同学者（刘晶波，1996；周红等，2006；张季，2009；Zhou等，2010；李英民等，2010；金丹丹等，2014；郝明辉等, 2014, 2015）针对上述单一因素或多种因素对地形效应的影响进行了研究，并得出了一些重要结论。但在上述研究中通常采用地震波垂直入射的假定，即地震波输入采用垂直向上入射的剪切波或压缩波方式，这对于远场波动问题是合理的，而对于近场波动而言，由于震源距场地较近，地震波并非垂直入射，而是以一定倾斜角度向上传播，相应地，地震动呈现出更为复杂的空间变化特性。已有的研究结果还表明，地震波斜入射引起的非一致激励对结构地震反应具有很大影响（张伯艳等，1999；杜修力等，2007；王琴等，2008）。因此，研究入射角度对地形地震反应的影响不仅对深入认识局部地形波动效应具有理论意义，而且对于确保建于复杂地形上的工程结构的抗震安全性具有实际意义。梁建文等（2006）采用波函数展开法，研究了平面SV波入射下入射角度对半圆凸起地形地表位移峰值的影响，指出地表位移峰值有时会出现在地震波斜入射时。丁海平等（2017）针对陡坎地形，采用数值模拟方法探讨了入射角度对地震动峰值的影响。李山有等（2002）对地震体波斜入射情形下竖直、倾斜陡坎地形引起的波形转换进行了数值模拟，结果表明，地震波的斜入射会使台阶上角点引起更强的转换面波，转换瑞利面波最大振幅可达弹性半空间自由场位移的1.1倍左右。荣棉水等（2007）利用有限元有限差分方法，研究了坡地地形在不同入射角度下平面运动傅里叶谱特性的差异。

上述研究成果均表明入射角度对于局部地形对地震动的放大效应具有显著的影响。然而，现有的大部分工作集中在分析局部地形对稳态地面运动的影响效应。相比稳态地面运动，实际工程中更为关注的是局部地形对地震动反应谱等参数的放大效应，进而关注近场环境下，地震波入射角度对这种放大效应的影响。朱传彬等（2014）利用二维时域非线性场地地震反应分析程序，研究了在SH波输入下，盆地地表加速度峰值和反应谱随地震波入射角变化的特征和规律，发现地震波入射角对二者均有重要影响，地表加速度峰值放大系数最大值并非出现在地震波垂直入射的情况，入射角对加速度反应谱短周期分量影响较大。目前，对于地震波斜入射条件下，局部凸起地形对地震动反应谱放大效应的研究较少。本文在凸起台地地形对地震动反应谱特性影响的研究基础之上（郝明辉等，2014），利用基于透射边界的有限元-有限差分计算程序，针对10种不同坡角的台地地形，采用人工合成地震动作为输入，研究了局部凸起在平面SV波入射时，地表地震反应的加速度峰值及反应谱随不同入射角度的变化规律，这将有助于人们认识地震波在斜入射时凸起台地地形的地震响应规律，为合理估计地形放大效应提供必要的研究基础。

1.   计算模型和输入地震动

凸起地形的计算模型如图 1所示，地表包括顶部平台、斜坡面和坡底3部分。利用人工边界从无限大区域中切取包含局部凸起的有限元计算区域，计算区域的宽和高取坡高的5倍，以减小人工边界的影响，满足计算精度的要求。采用四边形有限元网格离散，网格尺寸为1m×1m，可获取对高频成分可靠的数值模拟结果。为了研究凸起地表的地震响应，在地表布置了11个计算输出点。其中，点1、2、3分别位于坡底段的人工边界点、底部二分之一点、坡脚点，点4、5、6为坡面中点、平台段顶点以及平台段中点，点7、8、9、10、11分别位于测点5、4、3、2、1的对称位置。凸起模型的几何参数为：坡宽B=50m、坡高H=50m。为研究不同坡角下地震波入射角对地形放大效应的影响，坡角α分别取15°、20°、25°、30°、35°、40°、45°、50°、55°和60°。介质假定为均匀、各向同性和线弹性材料，其中，P波波速${c_{\rm{P}}} = 2000{\rm{m/s}}$，S波波速${c_{\rm{S}}} = 1400{\rm{m/s}}$，阻尼比ξ=0。输入地震波为SV波，其入射角为θ，取为0°、10°、20°、30°和40°。在实际计算中，假定已知入射SV波在图 1所示模型左下角点处的加速度时程。基于郝明辉等（2014）的研究结论，可以采用人工合成的地震动时程作为模型的输入。

图 1  局部凸起地形计算模型

Figure 1.  A calculating model with local terrain

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本文所采用的1个输入地震动样本加速度、速度和位移时程曲线如图 2所示，其合成过程中所采用的目标反应谱，即其对目标反应谱的拟合情况，参见文献（张郁山等，2014）。

图 2  输入地震动加速度、速度、位移时程曲线

Figure 2.  Acceleration, velocity and displacement curves of artificial ground motion samples

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2.   计算方法

2.1   集中质量显式有限元的内点计算方法

集中质量显式有限元的实质是从当前时刻的节点运动方程推求下一时刻节点的运动，它不需要进行刚度、质量、阻尼阵的集成，其右端项的形成只需在单元一级水平上根据每个单元对有效荷载向量的贡献累加而成。整个计算在单元一级水平上进行，只需要很小的高速存储区，计算效率较高。尤其当一系列单元的刚度阵、质量阵和阻尼阵相同时，不需要重复计算，效率更高。

对于模型内部节点（图 1中点2—10，假定其总体编号为1），由动力平衡条件可建立运动方程：

其中，${N_e}$为包含节点1的所有单元的个数，${N_n}$为第n个单元的节点数，i为节点1在单元e中的局部编号，$\hat n$为单元e中第n个节点的总体编号，${\bf{M}}_{in}^{(e)}$和${\bf{K}}_{in}^{(e)}$分别为单元e的质量矩阵和刚度矩阵，α和β为瑞利阻尼系数，$\{ {\ddot u_1}(t)\} $、$\{ {\dot u_{\hat n}}(t)\} $和$\{ {u_{_{\hat n}}}(t)\} $分别为加速度、速度和位移，$\{ {R_1}(t)\} $为节点的等效集中荷载，${M_1}$为节点1的等效集中质量，且有：

利用李小军等（1993）提出的显式差分格式求解方程（1），可得到节点1运动的数值解：

其中，$\{ u_1^{p + 1}\} $、$\{ u_1^{p + 1}\} $、$\{ u_1^{p + 1}\} $和$\{ R_{\rm{1}}^p\} $分别为$p\Delta t$时刻节点i的加速度、速度、位移和等效集中动力荷载，Δt为离散时间间隔。

利用公式（3），即可显式求解内部节点的动力响应。

2.2   透射人工边界

对于人工边界节点（图 1中点1、11，假定其总体编号为0），基于透射人工边界原理，可得到其动力响应的计算公式：

式中，N为透射阶数（本文取为2阶），${\rm{\{ }}u_0^{p + 1}{\rm{\} }}$为人工边界节点在$(p + 1)\Delta t$时刻的位移，${\rm{\{ }}u_j^{p + 1 - j}{\rm{\} }}$为计算点x= -j${c_a}\Delta t$在(p+1-j) Δt时刻的位移，${c_a}$为人工波速值，$C_j^N$为二项式系数：

2.3   程序验证

采用上述基于透射人工边界的显式有限元计算方法，开发了并行化的Fortran数值计算程序TPG2D，并移植到工业云计算平台上运行。为了验证该程序计算结果的正确性，计算了弹性半空间在SV波和P波垂直入射下的动力响应，并与理论解进行了对比。

从二维半无限空间中截取6m×50m的有限范围，单元网格尺寸为1m×1m，材料弹性模量E=2.4×10⁷Pa，泊松比v=0.2，质量密度ρ=1000kg/m³。在底部垂直向上入射水平方向的单位脉冲剪切位移波和竖直方向的单位脉冲压缩位移波可表示为：

其中，f=4Hz。

图 3给出了程序TPG2D计算得到的有限元模型底部、中部、顶部的水平向和竖直向位移时程曲线与理论解的比较。入射波由底部向上传播在自由地表发生反射，自由地表处的位移幅值为输入波幅值的2倍。程序TPG2D的计算结果与理论解吻合较好，证明了本文计算方法的正确性和有效性。

图 3  数值解与理论解比较

Figure 3.  Comparison of viscous-elastic boundary calculated results with the theoretical solution

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3.   计算结果及分析

为消除输入地震动的随机性对分析结果的影响，本文采用多组输入地震动计算所得谱比的平均值。针对第i个输入地震动样本${a_i}(t)$，利用程序TPG2D求解图 1所示凸起的地震反应，得到不同输出点地震反应的加速度时程$a_i^r(t{\rm{, }}\vec x)$，其绝对加速度反应谱为$S_{a, i}^r(T, \vec x)$。$\vec x = {[x, y]^T}$为输出点的空间坐标。

程序TPG2D假定${a_i}(t)$为图 1所示模型左下角点处入射波的加速度。以此为基础，可以确定自由场（即不存在凸起的弹性半空间）的地震反应，其加速度反应记为$a_i^f(t, \vec x)$，反应谱记为$S_{a, i}^f(T, \vec x)$。相应地，定义如下谱比以描述局部凸起对地震动的放大效应，即：

已有的研究（郝明辉等，2014）表明，利用Hanning窗对3个输入地震动样本计算所得的平均谱比曲线进行平滑，所得结果与大样本数量所得平均值相近，可以有效地消除输入地震动随机性的影响，同时降低计算工作量，即：

其中，Hann[f(x)]表示利用Hanning窗对函数f(x)进行平滑处理。下文讨论的谱比即是由式（8）定义的谱比。

3.1   入射角对地震动峰值加速度的影响

将图 1计算模型中的坡角取为15°、30°、45°、60°，输入SV波，入射角度θ取为0°、10°、20°、30°、40°，分别求解凸起地形的动力反应，即可得到不同入射角度下所有空间点地震反应的时程，将该时程的加速度峰值除以相应入射角度下自由场加速度峰值，即可得到不同空间点的峰值加速度放大倍数。

图 4分别给出了4种坡角下凸起地表 11个观测点（图 1）在5种入射角度下的峰值加速度放大倍数曲线。由图可以看出，入射角度对计算结果的影响较为显著。当地震波以一定的角度斜入射时，地表大部分观测点的峰值加速度放大倍数大于垂直入射的情况，且这种现象随着凸起坡角的增大而更加显著。当坡角α=15°时，在某些观测点（如图 4（a）中4、5、6节点），垂直入射的放大倍数反而略高于10°、20°和30°入射情况；但当α=60°时，垂直入射的放大倍数低于所有斜入射情况。当坡角α=60°、入射角θ=20°时，峰值加速度放大倍数的最大值达到2.9，而垂直入射下最大值仅为1.5，相差近1倍。为此，给出了7号观测点（平台右顶点）在垂直入射以及20°斜入射时的加速度时程曲线以及反应谱曲线，如图 5所示，由图可见20°斜入射时峰值加速度达到448gal，垂直入射时峰值加速度为269gal，相差近1.7倍。

图 4  不同入射角度下凸起地表峰值加速度放大倍数

Figure 4.  Magnification of peak acceleration of ground surface at different incidence angle

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图 5  右顶点时程曲线及反应谱曲线

Figure 5.  Time history curve of right vertex and response spectrum curve

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图 4所示结果还表明，针对给定的坡角，存在1个最不利的入射角度，当SV波在该角度入射下，凸起地表大部分输出点的峰值加速度放大倍数高于其他入射角度。当坡角为30°时，最不利入射角度为40°；当坡角为45°时，最不利入射角度为10°；当坡角为60°时，最不利入射角度为20°。此外，地表最不利位置（即放大倍数最大的空间点）不仅与地震波的入射角度有关，还与坡角有关，且随着坡角的增大，最不利位置由斜坡向平台移动，这主要是由于随着坡角的增大，凸起平台处地震波的局部干涉效应增强，导致地震动高频成分的放大效应增强。

3.2   入射角对地震动反应谱的影响

在坡角一定的情况下，研究地震波入射角对地震动反应谱特性的影响。图 6给出了坡角为45°时，不同入射角下凸起地表关键点处反应谱谱比曲线。其中，左、右脚点对应图 1中的3号和9号点，左、右斜坡中点对应4号和8号点，左、右平台顶点对应5号和7号点，平台中点则对应6号点。由图 6可以看出，SV波入射时，入射角度对地震动反应谱谱比曲线的影响十分显著，不但影响谱比的幅值，也影响谱比曲线的形状，即放大或缩小的频段范围。

图 6  不同观测点反应谱谱比曲线

Figure 6.  Curves of response spectrum ratio from different observation points

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各关键节点大部分周期点的谱比值在斜入射时大于垂直入射，且入射角度对反应谱中高频成分（小于0.1s）的影响更为显著。如入射角θ=10°时，左顶点在0.045s周期点处的谱比达到3.7，与垂直入射时的谱比1.5相比，增大近1.5倍。造成这种现象的原因在于，当地震波垂直入射时，对于凸起平台而言是垂直入射，对于斜坡而言则为斜入射，但地震波斜入射时，大部分情况下对凸起的平台和斜坡均为斜入射情况；由于SV波斜入射时存在复杂的波型转换，在超过其临界入射角时还会产生面波，因此在斜入射条件下，不同波型的高频成分在平台顶点附近局部区域的干涉效应更强，使地震动高频成分显著放大。

不同反应谱控制周期点（T为0.1s、1.0s）对应的平台中点谱比随坡角变化曲线如图 7所示。对于T=0.1s的高频成分，当入射角大于20°后，平台中点谱比的放大效应对地形坡角较为敏感，大致随坡角的增大而增大，但当坡角增大到一定程度后，放大效应会减弱；此外，当坡角大于40°后，斜入射对平台中点谱比的放大效应明显高于垂直入射，最大值达到2.6，而垂直入射时放大系数最大为1.2。对于T=1.0s的中长周期成分，平台中点谱比的放大效应对地形坡角不是十分敏感，且入射角度对长周期分量的影响也较小。

图 7  平台中点反应谱谱比随坡角变化曲线

Figure 7.  Spectral ratio variation of the surface point on the platform with slope angle

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4.   结论

本文针对10种不同坡角的凸起地形，利用人工合成地震动，以5种不同入射角度作为输入SV波，采用数值模拟方法，研究凸起地表地震动峰值加速度的放大倍数和反应谱谱比随入射角度的变化规律，得到如下结论：①入射角度对地震动峰值加速度有重要影响，地震波以一定的角度斜入射时，地表大部分观测点的峰值加速度放大倍数大于垂直入射的情况，针对给定坡角，存在最不利的入射角与最不利位置，且最不利位置不仅与地震波的入射角度有关，还与坡角有关；随着坡角的增大，最不利位置由凸起台地边缘向中心移动；②在凸起坡角一定的情况下，地震波入射角对地震动反应谱特性的影响十分显著，不但影响谱比的幅值，也影响谱比曲线的形状；斜入射条件下，凸起地表各关键节点大部分周期点的谱比值大于垂直入射，且入射角度对反应谱中的高频成分影响较为显著，而对长周期成分影响相对较弱。

综上所述，入射角度会对地震动参数的地形放大倍数产生不可忽视的影响。因此，在评估局部地形对地震动的影响效应或在建立地形放大效应的经验预测模型时，应考虑入射角度的不确定性对分析结果的影响。