引言

结构地震反应分析的发展可以分为静力阶段、反应谱阶段和动力阶段，动力阶段又分为弹性和非弹性2个阶段。静力阶段在20世纪20年代前后形成，结构地震反应分析以弹性为主，只考虑地震动过程中的最大振幅。到了20世纪40年代，随着结构动力学的发展，建立了能够反映结构动力特性的反应谱设计法，地震反应分析进入了反应谱阶段。此阶段初期仍然以弹性分析为主，到后期才考虑结构的非弹性性质，主要的贡献是考虑了地震动过程中的振幅和频谱（胡聿贤，2006；叶列平等，2009）。目前各国抗震规范仍把反应谱法作为水平地震作用计算的基本方法，常用的方法有振型分解反应谱法和底部剪力法。前者的理论基础是地震反应分析的振型分解法和地震反应谱概念，而后者则是振型分解反应谱法的一种简化（李国强等，2014）。

本文主要针对底部剪力法，将目前执行的中国《建筑抗震设计规范（GB 50011—2010）》（中华人民共和国住房和城乡建设部等, 2010, 后简称中国规范）、ASCE /SEI 7-10 Minimum design loads for buildings and other structures（American Society of Civil Engineers, 2010, 后简称美国规范）和Eurocode 8：Design of structures for earthquake resistance-Part 1：General rules，seismic actions and rules for buildings（European committee for Standardization, 2004, 后简称欧洲规范）中的反应谱和底部剪力法进行了对比分析，从中找出差异，为未来抗震规范的修订提供参考。本文旨在相同条件下对比反应谱和底部剪力法算得的底部地震剪力及层间地震剪力的差异，不涉及荷载组合、材料强度等。

1.   中、美、欧规范反应谱

地震反应谱是世界各国抗震规范中结构地震反应分析的基础，即对各地区大量地震记录反应谱进行统计平均和适当调整，再把得到的反应谱中随时间变化的地震作用转化为等效荷载（孙景江，2006）。中、美、欧抗震规范都给出了各自的反应谱曲线，但不同规范的反应谱曲线的物理意义和形状都有差异，这些差异直接影响其计算的地震作用的大小。现将中、美、欧规范中的反应谱列出并予以对比。

1.1   中国规范反应谱

中国是在建筑规范中应用反应谱较早的国家之一，设计反应谱在中国的应用已有50余年的历史。1959年出版的第1本抗震规范《地震区建筑规范（草案）》（简称59规范）和1964年出版的《地震区建筑设计规范（草案稿）》（简称64规范）中，反应谱曲线均是用动力反应系数β表示。由于受地震记录数量的限制和对地震动反应谱特性认识的不足，59规范没有考虑场地条件的影响。64规范将地基土质分为4类，按类别给出相应的反应谱曲线。《工业与民用建筑抗震设计规范（试行）》（TJ11—74，简称74规范）开始采用地震影响系数α表示反应谱曲线。74规范将场地土改分为3类，各类别相应的反应谱曲线均分为3段：上限水平段、曲线下降段和下限水平段。《工业与民用建筑抗震设计规范》（TJ11—78，简称78规范）沿用了74规范中的反应谱，但场地土分类标准略有调整。《建筑抗震设计规范》（GBJ11—89，简称89规范）的反应谱在78规范的基础上做了较大调整，将反应谱曲线的3段改为：直线上升段、水平段和曲线下降段，周期适用范围为0—3s。《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2001，简称01规范）又做了改进，反应谱曲线改为4段：直线上升段、水平段、曲线下降段和直线下降段，周期适用范围扩展为0—6s（蒋志楠，2010）。

目前执行的《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010，简称10规范）沿用了01规范的抗震设计反应谱（图 1），但增加了Ⅵ度区罕遇地震的水平地震影响系数最大值α_max和Ⅰ₀类场地的特征周期T_g。水平地震影响系数最大值和特征周期的取值分别见表 1、2。计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。

图 1  中国规范地震影响系数曲线

Figure 1.  Seismic effect coefficient curve in the Chinese code

α：地震影响系数；α_max：地震影响系数最大值；η₁：直线下降段的下降斜率调整系数；γ：衰减指数；T_g：特征周期（s）；η₂：阻尼调整系数；T：结构自振周期（s）

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表 1  水平地震影响系数最大值α_max

Table 1.  The coefficients of the maximum horizontal seismic influence α_max

地震影响	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ	Ⅸ
多遇地震	0.04	0.08（0.12）	0.16（0.24）	0.32
罕遇地震	0.28	0.50（0.72）	0.90（1.20）	1.40
注：括号中的数值分别用于设计基本地震加速度为0.15g和0.30g的地区。

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表 2  特征周期值T_g(s)

Table 2.  The value of characteristic period T_g(s)

设计地震分组	场地类别
	Ⅰ0	Ⅰ1	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ
第一组	0.20	0.25	0.35	0.45	0.65
第二组	0.25	0.30	0.40	0.55	0.75
第三组	0.30	0.35	0.45	0.65	0.90

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若无专门规定，建筑结构的阻尼比ξ应取0.05。当按有关规定ξ不为0.05时，α曲线中的形状参数γ、η₁和阻尼调整系数η₂应按式（1）—（3）确定。

1.2   美国规范反应谱

美国规范ASCE/SEI 7-10中的设计反应谱曲线如图 2所示，该反应谱曲线由4段组成：直线上升段、水平段、曲线下降一段和二段，各段曲线的表达式见式（4）。

图 2  美国规范设计反应谱

Figure 2.  Design response spectrum in the U.S.A. standard

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其中，S_DS为短周期（周期为0.2s）设计反应谱加速度（5%阻尼）；S_D1为周期1s的设计反应谱加速度（5%阻尼）；T为结构的基本周期（s）；T₀=0.2S_D1/S_DS；T_S=S_D1/S_DS；T_L为长周期段过渡周期（s），以区划图的形式给出，其值在美国规范第22章中给出，按地理位置大致分为4s、6s、8s、12s、16s。

其中，S_s、S₁表示B类场地上周期为0.2s和1s对应的最大考虑地震反应谱加速度参数，其值在美国规范第22章中给出；F_a，F_v表示由场地类别及S_s、S₁共同决定的场地系数（表 3、4）。

表 3  场地系数F_a

Table 3.  Site Coefficient F_a

场地类别	短周期（0.2s）最大考虑地震反应谱加速度参数
	Ss≤0.25	Ss=0.5	Ss=0.75	Ss=1.0	Ss≥1.25
A	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
B	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0
C	1.2	1.2	1.1	1.0	1.0
D	1.6	1.4	1.2	1.1	1.0
E	2.5	1.7	1.2	0.9	0.9
F	场地反应分析按特殊场地的地震动确定方法执行
注：对处于中间的Ss，场地系数Fa可按线性插入法取值。

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表 4  场地系数F_v

Table 4.  Site Coefficient F_v

场地类别	周期1s最大考虑地震反应谱加速度参数
	S1≤0.1	S1=0.2	S1=0.3	S1=0.4	S1≥0.5
A	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
B	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0
C	1.7	1.6	1.5	1.4	1.3
D	2.4	2.0	1.8	1.6	1.5
E	3.5	3.2	2.8	2.4	2.4
F	场地反应分析按特殊场地的地震动确定方法执行
注：对处于中间的S1，场地系数Fv可按线性插入法取值。

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1.3   欧洲规范反应谱

欧洲规范Eurocode 8中的水平弹性反应谱如图 3所示，该反应谱分为4段：直线上升段、水平段、曲线下降一段和二段，各阶段的表达式见式（6）。

图 3  欧洲规范水平弹性反应谱

Figure 3.  The elastic response spectrum in the European standard

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其中，S_e（T）为弹性反应谱；T为线性单自由度体系的自振周期（s）；a_g为A类场地的设计地面加速度（g）；T_B为常量谱加速度平台段的下限周期值（s）；T_C为常量谱加速度平台段的上限周期值（s）；T_D为谱曲线上确定常量位移反应范围的起始点的周期值（s）；S为场地土系数；η为阻尼修正系数，当粘滞阻尼比ξ=0.05时，η=1，否则按$\eta = \sqrt {10/(5 + \xi)} \ge 0.55$取值。

描述弹性反应谱形状的T_B、T_C和T_D3个周期值和场地系数S的值由场地类别确定。如果不考虑深地质情况（除A、B、C、D和E类场地外），建议选择2类弹性反应谱：Ⅰ类和Ⅱ类。为了进行震害概率风险评估，当对地震危害贡献最大的地震面波震级M_S＜5.5时，建议采用Ⅱ类弹性反应谱。2类弹性反应谱的各参数值见表 5、6。

表 5  Ⅰ类弹性反应谱的各参数值

Table 5.  Values of the parameters of the recommended TypeⅠelastic response spectra

场地类别	S	TB/s	TC/s	TD/s
A	1.0	0.15	0.4	2.0
B	1.2	0.15	0.5	2.0
C	1.15	0.20	0.6	2.0
D	1.35	0.20	0.8	2.0
E	1.4	0.15	0.5	2.0

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表 6  Ⅱ类弹性反应谱的各参数值

Table 6.  Values of the parameters of the recommended TypeⅡelastic response spectra

场地类别	S	TB/s	TC/s	TD/s
A	1.0	0.05	0.25	1.2
B	1.35	0.05	0.25	1.2
C	1.5	0.10	0.25	1.2
D	1.8	0.10	0.30	1.2
E	1.6	0.05	0.25	1.2

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考虑到结构构件屈服后的承载力，欧洲规范允许结构的抗震能力小于按线弹性分析得到的地震作用。为了避免在设计中进行详细的非弹性结构分析，欧洲规范引入性能系数q对弹性反应谱进行折减得到设计反应谱S_d（T），其各段表达式见式（7）。

其中，a_g，S，T_C，T_D为同水平弹性反应谱；q为性能系数，根据结构类型取值；β为设计反应谱的下限系数，一般取0.2。

1.4   中、美、欧规范反应谱对比分析

中、美、欧规范的抗震设防目标不一致（表 7），其反应谱中的地震动参数也有不同的标准。因此，要将这3本规范的反应谱进行比较，就必须了解不同概率水平或重现期地震动参数之间的换算关系。中国规范采用“三水准”设防思想，给出了小震与大震对应的设计反应谱；美国规范采用单一水准设防思想，设计反应谱采用最大考虑地震动参数的2/3作为参数，重现期为2500年；欧洲规范采用“两水准”设防思想，其弹性反应谱对应的重现期为475年。

表 7  中、美、欧抗震设防目标

Table 7.  Comparison of seismic fortification targets from China, the U.S.A. and Europe

国家或地区	设防目标	50年内超越概率	重现期
中国	小震不坏	63.2%	50年
	中震可修	10%	475年
	大震不倒	2%—3%	约2000年
美国	倒塌概率极小	2%	2500年
欧洲	破坏极限要求	40%	50年
	不倒塌要求	10%	475年

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为了使中、美、欧规范的反应谱在同一概率水平下进行比较，将中国规范小震下的设计反应谱转化为中震下的设计反应谱，将美国规范按中国规范的设防烈度进行换算得到相应的地震动参数，则各规范反应谱的50年内超越概率同为10%，重现期同为475年。

各抗震设计规范都不同程度的考虑了场地对地震动的影响，普遍的做法是将场地按照地震反应的特征进行分类。由于各规范都是以标准场地（中国为Ⅱ类，美国为B类，欧洲为A类）为基础给出各自的地震动参数，且对标准场地的界限存在较大差异，因此，要对各规范的地震动参数进行换算，就必须了解各规范场地类别之间的关系。中国规范的Ⅱ类场地大致相当于美国规范的C、D类场地，相当于欧洲规范的B、C类场地（罗开海等，2006）。

（1）中国规范反应谱参数换算

从反应谱的物理意义看，当中国反应谱的周期T=0时，水平地震影响系数为0.45α_max，而周期为0的结构是完全刚性结构，其加速度与地震地面运动加速度A_g相同。因此，可由式（8）得出中震对应的水平地震影响系数最大值：

其中，A_g为设计基本地震加速度；α_max为中震对应的水平地震影响系数最大值（表 8）。

表 8  中国规范中震对应的水平地震影响系数最大值

Table 8.  The maximum horizontal seismic influence coefficient under medium earthquake in the Chinese code

烈度	Ⅵ（0.05g）	Ⅶ（0.10g）	Ⅶ（0.15g）	Ⅷ（0.20g）	Ⅷ（0.30g）	Ⅸ（0.40g）
αmax	0.11	0.22	0.33	0.44	0.67	0.89

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（2）美国规范反应谱参数换算

美国规范抗震设计的重现期为2500年，将美国规范的地震动参数换算至中国规范475年重现期下各设防烈度的对应值，美国C类场地与中国规范对应的地震动参数转换关系见表 9（罗开海等，2006）。

表 9  美国规范的谱加速度参数（C类场地）

Table 9.  Spectral acceleration parameters in the U.S.A. standard(Site class C)

参数名称	Ⅵ（0.05g）	Ⅶ（0.10g）	Ⅶ（0.15g）	Ⅷ（0.20g）	Ⅷ（0.30g）	Ⅸ（0.40g）
SS	0.38	0.65	1.01	1.13	1.38	1.58
S1（第一组）	0.09	0.16	0.22	0.25	0.33	0.39
S1（第二组）	0.11	0.18	0.26	0.30	0.39	0.48
S1（第三组）	0.12	0.21	0.30	0.35	0.46	0.55

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（3）欧洲规范反应谱参数换算

欧洲规范抗震设计的重现期与中国规范的设防地震相同，都是475年，其A类场地的设计地面加速度a_g与中国规范中设计基本地震加速度相当，B类场地上两者的对应关系见表 10（罗开海等，2006）。

表 10  欧洲规范的设计地面加速度a_g值（B类场地）（g）

Table 10.  The design ground acceleration a_g in the European standard(Site class B)(g)

反应谱类别	Ⅵ（0.05g）	Ⅶ（0.10g）	Ⅶ（0.15g）	Ⅷ（0.20g）	Ⅷ（0.30g）	Ⅸ（0.40g）
Ⅰ类	0.042	0.083	0.125	0.167	0.250	0.333
Ⅱ类	0.037	0.074	0.111	0.148	0.222	0.296

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（4）中、美、欧规范反应谱对比

中国规范反应谱的周期截至6s，欧洲规范反应谱的周期截至4s，而美国规范的反应谱对周期没有限制。为便于比较，反应谱周期范围统一取为0—6s。为统一场地类别，中国规范取Ⅱ类场地，美国规范取C类场地，欧洲规范取B类场地。欧洲规范的弹性反应谱根据地震活动性强弱分为Ⅰ类和Ⅱ类，Ⅱ类反应谱主要针对大地震罕有、小地震频繁的地区，这样的地区所占比例相对较小，因此，在与中、美反应谱对比时选取Ⅰ类反应谱，并除以重力加速度g作无量纲化处理。

在相同的重现期（475年）和场地条件下，设计地震分组取为第1组，阻尼比均按0.05计算，将中、美、欧规范的反应谱分别在设防烈度Ⅵ度、Ⅶ度、Ⅷ度和Ⅸ度进行对比，见图 4。

图 4  不同烈度下中、美、欧抗震规范反应谱对比

Figure 4.  Comparison of seismic response spectra among China, the U.S.A. and Europe under different intensities

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由图 4可以看出：①从反应谱的形状看，中、美、欧规范反应谱均包含4个阶段，即上升段、水平段和双下降段；②在各烈度下，反应谱的水平段取值美国最大，欧洲次之，中国略低于欧洲，随着烈度增加，虽仍保持三者的大小排序，但三者的大小差距逐渐减小；③在短周期段和中长周期段，美国和欧洲规范反应谱值均高于中国；而到长周期段，中国规范反应谱值逐渐接近而后超过美国和欧洲，这是因为在反应谱速度控制段，美国和欧洲反应谱的衰减指数为1，而中国反应谱的衰减指数为0.9；在反应谱位移控制段，美国和欧洲反应谱的衰减指数为2，而中国反应谱为直线下降；④就水平段起止点而言，中国规范为0.1s—T_g，美国规范为T₀—T_S，欧洲规范为T_B—T_C，美国和欧洲规范的起点和止点都考虑了场地条件的影响，而中国规范仅止点T_g考虑了场地条件，起点取了定值0.1s，相比略有欠缺。

2.   中、美、欧规范底部剪力法

中国规范中的“底部剪力法”与美、欧规范中的叫法有所不同，美国规范称为“等效侧力法”（equivalent lateral force procedure），欧洲规范称为“侧向力分析方法”（lateral force method of analysis），但其基本思路一致，即结构底部地震剪力等于其总水平地震作用，而各楼层的水平地震作用沿高度按倒三角形分布。因此，下文将这种方法统一称为“底部剪力法”。现将中、美、欧规范的底部剪力法列出，并通过算例对比其差异。

2.1   中国规范的底部剪力法

2.1.1   适用范围

高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构以及近似于单质点体系的结构。

2.1.2   计算方法

采用底部剪力法时，各楼层可以仅取1个自由度，结构的水平地震作用标准值应按式（9）—（11）确定。

其中，F_Ek为结构总水平地震作用标准值；α₁为相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数值，多层砌体房屋、底部框架和多层内框架砖房，宜取水平地震影响系数最大值；G_eq为结构等效总重力荷载，单质点应取总重力荷载代表值，多质点可取总重力荷载代表值的85%；F_i为质点i的水平地震作用标准值；G_i、G_j分别为集中于质点i、j的重力荷载代表值；H_i、H_j分别为质点i、j的计算高度；δ_n为顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土和钢结构房屋可采用表 11中的值，其他房屋可采用0；ΔF_n为顶部附加水平地震作用。

表 11  顶部附加地震作用系数

Table 11.  Additional seismic action coefficient at the top

Tg/s	T1＞1.4Tg	T1≤1.4Tg
Tg≤0.35	0.08T1+0.07	0
0.35＜Tg≤0.55	0.08T1+0.01
Tg＞0.55	$ 0.08{\tilde T_1}0.02$

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2.2   美国规范的底部剪力法

2.2.1   适用范围

（1）抗震设计分类为B、C类的所有结构。

（2）抗震设计分类为D、E、F类结构中：①风险类别为Ⅰ类或Ⅱ类不超过2层的结构；②所有轻框架结构；③无结构、不规则且高度不超过48.768m的结构；④高度超过48.768m、无结构、不规则且自振周期T＜3.5T_s的结构；⑤高度不超过48.768m、仅平面不规则（规范表 12.3-1中2、3、4或5类）或仅竖向不规则（规范表 12.3-2中4、5a或5b类）的结构。

2.2.2   计算方法

采用底部剪力法时，美国规范中12.8.1节给出了结构水平地震作用的表达式，见式（12）—（14）。

其中，V为结构的地震底部剪力（kN）；C_s为地震反应系数，计算公式见式（15）；W为有效地震重力荷载（kN），包括恒荷载和活荷载；C_vx为竖向分配系数，计算公式见式（17）；F_x、F_i为x层、i层的侧向力（kN）；V_x为任一层抗震设计层间剪力（kN）。

其中，S_DS为短周期（0.2s）设计反应谱加速度系数；R为反应谱修正系数，按美国规范中表 12.2-1取值；I_e为重要性系数，按美国规范中11.5.1节确定。

按式（15）计算出的C_s的值需满足：

其中，S_D1为周期1s设计反应谱加速度系数；T为结构的基本周期（s）；T_L为长周期段过渡周期（s）。

其中，w_i、w_x为i层、x层的结构有效重力荷载（kN）；h_i、h_x为i层、x层的计算高度（m）；k为与结构基本周期T相关的指数，当T≤0.5s时，k=1，当T≥2.5s时，k=2，当0.5s＜T＜2.5s时，k在1、2之间线性取值，或直接取2。

另外，对于位于周期为1s对应的最大考虑地震反应谱加速度参数S₁≥0.6g地区的结构，C_s仍需满足：

对于5层或低于5层且自振周期不超过0.5s的规则建筑物，计算C_s的值时，S_s可取1.5。

2.3   欧洲规范的底部剪力法

2.3.1   适用范围

任一主要方向的地震动反应不受高阶（这里指高于一阶）振型显著影响的建筑物，符合这样条件的建筑物需满足：①结构2个主要方向的基本自振周期T₁满足式（19）；②满足欧洲规范中4.2.3.3节关于结构规则性的原则。

其中，T_C为常量谱加速度平台段的上限周期值，按表 5、6取值。

2.3.2   计算方法

采用底部剪力法时，结构的水平地震作用的表达式见式（20）、（21）。

其中，F_b为结构的地震底部剪力（kN）；S_d（T₁）为自振周期T₁所对应的设计反应谱值；T₁为所考虑方向结构侧向振动的基本自振周期（s）；m为结构总质量（kg）（从基础或刚性地下室顶部算起），包括恒载和活载；λ为修正系数，当T₁＜2T_C，且层数超过2层时，λ=0.85；其他情况时λ=1.0；F_i为i层的水平力（kN）；m_i、m_j为i层、j层的结构质量；s_i、s_j为i层、j层在基本振型下的位移。

若结构的基本振型是按沿高度线性增加的水平位移所估算出的，那么F_i应按式（22）计算：

其中，z_i、z_j为i层、j层的计算高度（从基础或刚性地下室顶部算起）。

2.4   中、美、欧规范底部剪力法算例对比分析

美国规范基于2500年重现期的反应谱计算地震作用，而欧洲规范基于475年重现期的反应谱计算地震作用。中国74、78规范均在中震水准上计算地震作用，从89规范开始采用“三水准”设防目标，按小震水准（50年重现期）计算地震作用，并沿用至今。

如某10层钢筋混凝土框架结构，底层层高4.2m，其它各层层高3.6m，设计地震分组为第一组，场地类别为Ⅱ类（相当于美国规范C类场地，欧洲规范B类场地），各层重力荷载均相等，结构总重力荷载为W，分别采用中、美、欧规范的底部剪力法计算不同烈度条件下结构的底部地震剪力和各楼层层间地震剪力。

2.4.1   底部地震剪力

上述中、美、欧规范中地震作用均以设计反应谱的形式表示，但纵坐标采用的参数不同。为了便于比较，把反应谱的纵坐标均转换为基底剪力系数C_s，则结构的底部地震剪力均可以表示为基底剪力系数C_s与总重力荷载W的乘积，即V=C_sW（王亚勇，1999）。3本规范中结构的重力荷载都是竖向恒荷载和活荷载组合得到的，恒荷载的组合系数均取1.0，而活荷载的组合系数都是考虑了地震时荷载本身存在的概率而设定的，虽取值上略有不同，但原理是一致的，可认为3本规范的重力荷载取值W相同（李慧，2011）。因此，在对比3本规范采用底部剪力法得到的结构底部地震剪力时，只需对比基底剪力系数C_s即可（表 12）。

表 12  中、美、欧规范基底剪力系数

Table 12.  Base shear coefficient in the standard of China, the U.S.A. and Europe

比较项	中国	美国	欧洲
底部地震剪力（kN）	${F_{{\rm{Ek}}}} = {\alpha _1}{G_{{\rm{eq}}}} = 0.85{\alpha _1}W$	$V = {C_{\rm{s}}}W$	${F_{\rm{b}}} = {S_{\rm{d}}}({T_1})\; \cdot \; m\lambda = \lambda {S_{\rm{d}}}({T_1}){\rm{ }}W/{\rm{g}}$
基底剪力系数Cs	${C_{\rm{s}}} = 0.85{\alpha _1}$	${C_{\rm{s}}} = \frac{{{S_{{\rm{DS}}}}}}{{(R/{I_{\rm{e}}})}}$	${C_{\rm{s}}} = \lambda {S_{\rm{d}}}({T_1})/{\rm{g}}$
注：g为重力加速度。

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在计算基底剪力系数C_s时，需知道结构的基本自振周期T₁。中国抗震规范没有给出结构自振周期的估算公式，故采用《建筑结构荷载规范（GB 50009—2012）》（中华人民共和国住房和城乡建设部，2012）附录F中结构基本自振周期的经验公式计算，将其与美、欧规范中结构基本自振周期的估算公式汇于表 13中，并计算10层钢混框架的基本自振周期T₁。

表 13  中、美、欧规范基本自振周期T₁（10层钢混框架）

Table 13.  Basic natural vibration period T₁ in the standard of China, the U.S.A. and Europe (A 10-storey reinforced concrete frame)

比较项	中国	美国	欧洲
基本自振周期T估算公式	$T = 0.1n$	$T = {C_t}h_n^x$	$T = {C_t}{H^{3/4}}$
相关参数	$n = 10$	${C_t} = 0.0466$ $x = 0.9$ ${h_{10}} = 4.2 + 3.6 \times 9 = 36.6\left({\rm{m}} \right)$	${C_t} = 0.075$ $H = 4.2 + 3.6 \times 9 = 36.6\left({\rm{m}} \right)$
10层钢混框架的基本自振周期T1（s）	${T_1} = 0.1 \times 10 = 1$	${T_1} = 0.0466 \times {36.6^{0.9}} = 1.190$	${T_1} = 0.075 \times {36.6^{3/4}} = 1.116$

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按中、美、欧规范计算的基底剪力系数C_s分别见表 14—16。

表 14  中国规范的基底剪力系数C_s（10层钢混框架）

Table 14.  Base shear coefficient C_s in the Chinese standard(A 10-storey reinforced concrete frame)

参数	Ⅵ度（0.05g）	Ⅶ度（0.10g）	Ⅶ度（0.15g）	Ⅷ度（0.20g）	Ⅷ度（0.30g）	Ⅸ度（0.40g）
αmax	0.04	0.08	0.12	0.16	0.24	0.32
${\alpha _1} = {\left({\frac{{{T_g}}}{{{T_1}}}} \right)^{0.9}}{\alpha _{\max }}$	0.016	0.031	0.047	0.062	0.093	0.124
${C_{\rm{s}}} = 0.85{\alpha _1}$	0.013	0.026	0.040	0.053	0.079	0.106
注：根据设计地震分组为第1组，场地类别为Ⅱ类，查得特征周期值Tg=0.35s。

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表 15  美国规范的基底剪力系数C_s（10层钢混框架）

Table 15.  Base shear coefficient C_s in the U.S.A. standard(A 10-storey reinforced concrete frame)

参数	Ⅵ度（0.05g）	Ⅶ度（0.10g）	Ⅶ度（0.15g）	Ⅷ度（0.20g）	Ⅷ度（0.30g）	Ⅸ度（0.40g）
Ss	0.38	0.65	1.01	1.13	1.38	1.58
Fa	1.2	1.14	1	1	1	1
S1	0.09	0.16	0.22	0.25	0.33	0.39
Fv	1.7	1.64	1.58	1.55	1.47	1.41
${S_{{\rm{DS}}}} = 2/3{F_a}{S_{\rm{s}}}$	0.304	0.494	0.673	0.753	0.920	1.053
${S_{{\rm{D}}1}} = 2/3{F_v}{S_1}$	0.102	0.175	0.232	0.258	0.323	0.367
${T_0} = 0.2{S_{{\rm{D}}1}}/{S_{{\rm{DS}}}}$（s）	0.067	0.071	0.069	0.069	0.070	0.070
${T_{\rm{s}}} = {S_{{\rm{D}}1}}/{S_{{\rm{DS}}}}$（s）	0.336	0.354	0.344	0.343	0.352	0.348
TL（s）	4	4	4	4	4	4
${C_{\rm{s}}} = \frac{{{S_{{\rm{DS}}}}}}{{(R/{I_{\rm{e}}})}}$	0.101	0.165	0.224	0.251	0.307	0.351
$\frac{{{S_{{\rm{D}}1}}}}{{T(R/{I_{\rm{e}}})}}$	0.029	0.049	0.065	0.072	0.091	0.103
$0.044{S_{{\rm{DS}}}}{I_{\rm{e}}}$	0.013	0.022	0.030	0.033	0.040	0.046
Cs最终值	0.029	0.049	0.065	0.072	0.091	0.103
注：规范中查得反应谱修正系数R=3，重要性系数Ie=1.0。

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表 16  欧洲规范的基底剪力系数C_s（10层钢混框架）

Table 16.  Base shear coefficient C_s in the European standard(A 10-storey reinforced concrete frame)

参数	Ⅵ度（0.05g）	Ⅶ度（0.10g）	Ⅶ度（0.15g）	Ⅷ度（0.20g）	Ⅷ度（0.30g）	Ⅸ度（0.40g）
ag/g	0.042	0.083	0.125	0.167	0.250	0.333
${S_{\rm{d}}}({T_1})/{\rm{g}} = {a_{\rm{g}}}S\frac{{2.5}}{q}\left({\frac{{{T_{\rm{C}}}}}{{{T_1}}}} \right)/{\rm{g}}$	0.014	0.029	0.043	0.058	0.086	0.115
βag/g	0.008	0.017	0.025	0.033	0.050	0.067
${C_{\rm{s}}} = \lambda {S_{\rm{d}}}({T_1})/{\rm{g}}$	0.014	0.029	0.043	0.058	0.086	0.115
注：规范中查得场地土系数S=1.2，TB=0.15s，TC=0.5s，TD=2.0s，β=0.2；性能系数q=3.9；因T1＞2TC，故λ=1.0。

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由表 13可知，结构的基本自振周期T₁与楼层或房屋高度有关，楼层或房屋高度越高，T₁值越大。由上述中、美、欧规范的设计反应谱可知，T₁值不同，对应的反应谱值亦不同。为比较T₁值不同对基底剪力系数C_s影响的差异，现取某3层钢筋混凝土框架结构，其它条件与上例相同，该框架结构的基本自振周期T₁见表 17。

表 17  中、美、欧规范基本自振周期T₁（3层钢混框架）

Table 17.  Basic natural vibration period T₁ in the standard of China, the U.S.A. and Europe (A 3-storey reinforced concrete frame)

比较项	中国	美国	欧洲
基本自振周期T估算公式	$T = 0.1n$	$T = {C_t}h_n^x$	$T = {C_t}{H^{3/4}}$
相关参数	$n = 3$	${C_t} = 0.0466$ $x = 0.9$ ${h_3} = 4.2 + 3.6 \times 2 = 11.4\left({\rm{m}} \right)$	${C_t} = 0.075$ $H = 4.2 + 3.6 \times 2 = 11.4\left({\rm{m}} \right)$
3层钢混框架的基本自振周期T1（s）	${T_1} = 0.1 \times 3 = 0.3$	${T_1} = 0.0466 \times {11.4^{0.9}} = 0.416$	${T_1} = 0.075 \times {11.4^{3/4}} = 0.465$

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按中、美、欧规范计算的3层钢筋混凝土框架的基底剪力系数C_s分别见表 18、表 19和表 20。

表 18  中国规范的基底剪力系数C_s（3层钢混框架）

Table 18.  Base shear coefficient C_s in the Chinese standard(A 3-storey reinforced concrete frame)

参数	Ⅵ度（0.05g）	Ⅶ度（0.10g）	Ⅶ度（0.15g）	Ⅷ度（0.20g）	Ⅷ度（0.30g）	Ⅸ度（0.40g）
αmax	0.04	0.08	0.12	0.16	0.24	0.32
${\alpha _1} = {\alpha _{\max }}$	0.04	0.08	0.12	0.16	0.24	0.32
${C_{\rm{s}}} = 0.85{\alpha _1}$	0.034	0.068	0.102	0.136	0.204	0.272

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表 19  美国规范的基底剪力系数C_s（3层钢混框架）

Table 19.  Base shear coefficient C_s in the U.S.A. standard(A 3-storey reinforced concrete frame)

参数	Ⅵ度（0.05g）	Ⅶ度（0.10g）	Ⅶ度（0.15g）	Ⅷ度（0.20g）	Ⅷ度（0.30g）	Ⅸ度（0.40g）
${C_{\rm{s}}} = \frac{{{S_{{\rm{DS}}}}}}{{(R/{I_{\rm{e}}})}}$	0.101	0.165	0.224	0.251	0.307	0.351
$\frac{{{S_{{\rm{D}}1}}}}{{T(R/{I_{\rm{e}}})}}$	0.082	0.140	0.186	0.207	0.259	0.294
$0.044{S_{{\rm{DS}}}}{I_{\rm{e}}}$	0.013	0.022	0.030	0.033	0.040	0.046
Cs最终值	0.082	0.140	0.186	0.207	0.259	0.294
注：其它相关参数与楼层或房屋高度无关，均与10层钢混框架的参数相同，故该表未列出。

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表 20  欧洲规范的基底剪力系数C_s（3层钢混框架）

Table 20.  Base shear coefficient C_s in the European standard(A 3-storey reinforced concrete frame)

参数	Ⅵ度（0.05g）	Ⅶ度（0.10g）	Ⅶ度（0.15g）	Ⅷ度（0.20g）	Ⅷ度（0.30g）	Ⅸ度（0.40g）
ag/g	0.042	0.083	0.125	0.167	0.250	0.333
${S_{\rm{d}}}\left({{T_1}} \right)/{\rm{g}} = {a_{\rm{g}}}S\frac{{2.5}}{q}/{\rm{g}}$	0.032	0.064	0.096	0.128	0.192	0.256
${C_{\rm{s}}} = \lambda {S_{\rm{d}}}\left({{T_1}} \right)/{\rm{g}}$	0.027	0.054	0.082	0.109	0.163	0.218
注：因T1＜2TC，且层数超过2层，故λ=0.85；其它相关参数均与10层钢混框架的参数相同。

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现分别将10层和3层钢筋混凝土框架在不同烈度下的中、美、欧规范计算所得基底剪力系数C_s绘到坐标系中，如图 5所示。

图 5  中、美、欧基底剪力系数C_s对比

Figure 5.  Comparison of base shear coefficient among China, America and Europe

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由图 5可得出以下结论：

（1）从整体看，中、美、欧规范的基底剪力系数C_s都随抗震设防烈度的提高而增大，中、欧规范的C_s呈直线增长，而美国规范的C_s呈折线增长。

（2）由图 5（a）可以看出，Ⅵ—Ⅷ度设防下的C_s值，美国最大，欧洲次之，中国最小，而Ⅸ度设防下的C_s值，美国反而最低。

（3）由图 5（b）可以看出，Ⅵ—Ⅸ度设防下的C_s值，均是美国最大，中国次之，欧洲最小。

（4）对比图 5（a）、（b）可知，在相同设计基本加速度下，中、美、欧规范均是3层框架的C_s值大于10层框架的C_s值，这是由于3层框架的基本自振周期远小于10层框架，属短周期结构，其所对应的反应谱值一般处于反应谱的水平段或第一下降段靠前的位置，而中长周期结构所对应的反应谱值一般处于反应谱的第一下降段靠后的位置，因此10层框架的C_s值反而偏小。

2.4.2   各楼层层间地震剪力

计算各楼层层间地震剪力，需先计算各楼层水平地震作用。将中、美、欧规范中楼层水平地震作用计算公式汇于表 21中，由3本规范的计算公式可以看出，楼层水平地震作用均可以看成由竖向分配系数C_vi（i为楼层）乘以底部地震剪力得出。为对比3本规范的各楼层水平地震作用的分配情况，仅需对比相应的C_vi值即可。比较3本规范中C_vi的计算公式，既有相似之处，又不尽相同，这主要是考虑了高阶振型的影响，中、美、欧规范均对水平地震作用沿高度呈倒三角形分布原则进行了调整，但调整方法却又不同，中国规范引入了依赖于结构周期和场地类别的顶部附加水平地震作用予以调整；美国规范对于中长周期结构，分配公式中用h^k代替了h，增大了质点高度对底部地震剪力竖向分配的影响；欧洲规范对于高振型影响较大的结构，建议采用动力分析方法分配底部地震剪力（曹继涛，2013）。按3本规范分别计算10层框架各楼层的C_vi值，见图 6。因欧洲规范中C_vi值如按动力分析方法计算，则无法用手算完成，故C_vi值按近似计算方法得到。

表 21  中、美、欧规范竖向分配系数C_vi

Table 21.  The vertical distribution coefficient C_vi in the standard of China, the U.S.A. and Europe

比较项	中国	美国	欧洲
楼层水平地震作用	${F_i} = \frac{{{G_i}{H_i}}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {{G_j}{H_j}} }}{F_{{\rm{Ek}}}}(1 - {\delta _n})$	${F_x} = {C_{vx}}V = \frac{{{w_x}h_x^k}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}h_i^k} }}V$	动力分析方法：${F_i} = {F_{\rm{b}}}\frac{{{s_i}{m_i}}}{{\sum {s_j}{m_j}}}$
			近似计算方法：${F_i} = {F_{\rm{b}}}\frac{{{z_i}{m_i}}}{{\sum {z_j}{m_j}}}$
竖向分配系数Cvi	${C_{vi}} = \frac{{{G_i}{H_i}}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {{G_j}{H_j}} }}(1 - {\delta _n})$	${C_{vi}} = \frac{{{w_i}h_i^k}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {{w_j}h_j^k} }}$	动力分析方法：${C_{vi}} = \frac{{{s_i}{m_i}}}{{\sum {s_j}{m_j}}}$
			近似计算方法：${C_{vi}} = \frac{{{z_i}{m_i}}}{{\sum {z_j}{m_j}}}$
相关参数	${\delta _n} = 0.08{T_1} + 0.07 = 0.15$	$k = 1.69$

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图 6  中、美、欧竖向分配系数C_vi对比

Figure 6.  Comparison of vertical distribution coefficient C_vi among China, the U.S.A. and Europe

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因各楼层层间地震剪力等于该层及其以上各楼层水平地震作用之和，所以在对比3本规范的层间地震剪力时，仅需将该层及其以上各层的C_vi值叠加即可，从而得出各楼层层间地震剪力与底部地震剪力的比值，计算结果见图 7。

图 7  中、美、欧层间地震剪力对比

Figure 7.  Comparison of seismic shear between layers among China, the U.S.A. and Europe

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通过对比中、美、欧规范底部地震剪力竖向分配，可以得到以下结论：

（1）在考虑高振型影响时，中、美规范均依据结构自振周期进行地震作用竖向分配调整，计算较为简便，而欧洲规范给出2种方法，并没给出相应的适用条件，且其中的动力分析方法难以手算完成。

（2）中国规范仅在顶部附加了水平地震作用，使得顶层分配到的地震剪力明显大于欧、美规范；美国规范利用h^k代替h，逐层增加楼层水平地震作用，更加接近实际情况；欧洲规范的近似计算法虽计算方便，但计算结果过于理想化。

3.   结论

综上所述，中、美、欧规范的反应谱和底部剪力法在本质上是相同的，只是在表达形式和参数设置中存在差异，主要表现在：

（1）中、美、欧规范的反应谱均由4段组成，即直线上升段、水平段和2个下降段，中国规范反应谱的截止周期为6s，欧洲规范反应谱的截止周期为4s，而美国规范反应对周期没有限制，可见中、欧规范对于长周期结构的地震作用取值需要进一步研究。

（2）在相同的重现期（475年）和场地条件下，反应谱水平段值美国最大，欧洲次之，中国最小，但在长周期段，中国规范反应谱值逐渐接近而后超过欧美规范，因此中国规范反应谱长周期段的衰减指数是否需要增大有待考量。

（3）中、美、欧规范的底部地震剪力均可看成是基底剪力系数C_s与总重力荷载W的乘积，但各自C_s值所考虑的因素有所不同。

（4）关于底部地震剪力的竖向分配，中、美、欧规范均对高振型产生的影响进行了调整，但调整方法存在差异。