引言

近年来，世界各地地震频发，给人们带来巨大的经济损失。通过总结历次震害的经验教训，人们对地震动特性及结构动力特性的理解逐渐加深，同时广泛重视对结构抗震设计方法的研究。我国现行的抗震设计规范提出了“三水准”设防目标与“两阶段”设计方法。然而，从汶川地震的震灾中很少看到规范中要求的“强柱弱梁”型破坏；同时，由于地震动具有极大的不确定性与随机性，极震区及其周边区域（如唐山地震、汶川地震）的实际地震烈度往往比设防烈度大得多（施炜等，2011），导致大量建筑发生倒塌，未能实现其性能要求；此外，基于弹性方法设计的结构无法反映出结构预定的屈服机制以及地震输入能量对结构的影响。在控制结构屈服机制的基础上采用能量方法的抗震设计能够有效解决上述问题（白久林等，2012）。能量方法抗震设计的概念自Housner等（1956）提出后，经过国内外诸多学者的研究，理论已基本成熟。Leelataviwat等（2002）和Liao等（2010）提出基于能量平衡的塑性设计方法对混凝土框架结构进行了系列研究；白久林等(2012, 2017)采用能量平衡的抗震塑性设计方法分别对钢筋混凝土框架结构和防屈曲支撑-钢筋混凝土框架结构进行了研究；叶列平等（2014）和缪志伟等(2013, 2014)指出合理的结构损伤耗能机制控制是实现基于能量抗震设计前提，并给出了出钢筋混凝土框架-剪力墙结构基于能量抗震设计的实施流程。目前，对用此方法设计的结构地震易损性的研究相对较少。

本文以“强柱弱梁”屈服机制作为RC框架结构失效模式，采用能量方法对某6层RC框架结构进行抗震设计，在考虑地震动随机性对地震易损性分析影响的基础上对其进行增量动力分析（简称IDA），建立结构在不同地震水平下结构的易损性方程，预测结构在不同地震水平下发生各级破坏的概率，同时验证此方法的合理性，为结构抗震设计提供参考。

1.   基于能量方法抗震设计

基于能量方法抗震设计主要包括2部分内容：地震动对结构的能量要求和结构的能量耗散能力评估。首先，估算地震动对结构的能量要求，即在控制结构屈服耗能机制下，使结构耗能大于预期地震动的输入能量。地震动输入能量是相对稳定的量，Housner等（1956）研究表明：外力所做的功等于理想弹塑性等效单自由度体系达到相同状态时所需的能量。单质点体系的总输入能量等于多质点体系的总输入能量；同时，单质点弹性体系的总输入能量等于单质点弹塑性体系的总输入能量，如图 1所示，图中${E_{\rm{I}}}$为地震输入总能量（J），${E_{\rm{e}}}$为弹性振动能（J），${E_{\rm{p}}}$为弹塑性应变能（J），$M$为体系的总质量（kg），${S_{\rm{v}}}$为谱速度（m/s），$\eta $为能量折减系数，$\gamma $为滞回耗能折减系数，${V_{\rm{E}}}$为弹性体系基底剪力（kN），${V_{\rm{y}}}$为弹塑性体系基底剪力（kN），${\Delta _{\rm{y}}}$为弹塑性基底剪力屈服位移（m），${\Delta _{{\rm{Eu}}}}$为弹性体系位移（m），${\Delta _{{\rm{pu}}}}$为弹塑性体系极限位移（m）。

图 1  结构能量平衡图

Figure 1.  Schematic structure of energy balance

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强震作用下结构最优失效模式如图 2所示。每层耗能梁段均形成塑性铰，达到最终破坏时仅底层柱端形成塑性铰。梁作为主要耗能构件消耗大部分地震能量，防止楼层柱被破坏。

图 2  结构最优失效模式

Figure 2.  Optimal failure mode of structures

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基于能量方法的抗震设计流程主要分为2部分：确定地震作用下结构设计参数和进行构件设计，具体步骤如下：

（1）根据抗震设防烈度，选择与预期目标一致的屈服位移角${\theta _{\rm{y}}}$与目标位移角${\theta _{\rm{u}}}$，计算塑性位移角${\theta _{\rm{p}}}$、滞回耗能影响系数γ以及阻尼耗能影响系数$\eta $。

（2）根据结构质量与刚度计算结构自振周期$T$，设计速度反应谱${S_{\rm{v}}}$、侧向力分布系数${\lambda _i}$，考虑重力二阶效应（P-Δ效应）对结构的影响，利用能量平衡原理求出基底剪力${V_{\rm{y}}}$与楼层剪力${F_\delta }$。

（3）利用结构所得到的基底剪力与楼层剪力，假定各楼层梁端和底层柱底形成塑性铰，利用能量平衡原理求出各楼层梁端的内力大小，再对边柱和中柱取隔离体，确定各楼层柱的内力大小。

（4）按式（1）对梁柱截面进行抗震验算，截面配筋设计按照《混凝土设计规范》（GB 50010—2010）（中华人民共和国住房和城乡建设部，2011）与《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）（中华人民共和国住房和城乡建设部等，2010）进行计算。

式中，${\gamma _{\rm{G}}}$为重力荷载分项系数，${S_{{\rm{GE}}}}$为重力荷载代表值效应，${\gamma _{{\rm{Eh}}}}$为水平地震分项系数，${S_{{\rm{Ehk}}}}$为水平地震作用标准值效应，${\gamma _{{\rm{Ev}}}}$为竖向地震分项系数，${S_{{\rm{Evk}}}}$为竖向地震作用标准值效应，${\psi _{\rm{w}}}$为风荷载组合值系数，${\gamma _{\rm{w}}}$为风荷载分项系数，${S_{{\rm{wk}}}}$为风荷载标准值效应，R为结构构件承载力设计值，${\gamma _{{\rm{RE}}}}$为承载力抗震调整系数，各符号取值同《建筑抗震设计规范》（GB 50011— 2010）。

2.   结构易损性分析

2.1   地震动的选择

地震易损性分析中主要考虑的不确定性包括地震动不确定性和结构不确定性。其中，地震动的不确定性对结构反应影响较大。10—20条地震动记录可精确评估中高层建筑的抗震性能（陈昉健等，2015）。本文选取12条随机地震动对结构进行IDA分析，所选地震动震级M_W、震中距R均匀分布在一个较宽的范围：6.5＜M_W＜7.1，13km＜R＜30km，其对应的峰值加速度也均匀分布在一个较宽的范围内，具体数据如表 1所示。

表 1  12条地震动记录

Table 1.  Records of 12 seismic waves

地震动	台站	震级MW	震中距R/km	峰值加速度aPGA/g
Northridge	Beverly Hills-14145 Mulhol	6.7	13.39	0.416
Cape Mendocino	Rio Dell Overpass-FF	7.1	22.64	0.549
Superstition Hills	Poe Road(temp)	6.5	11.2	0.45
Loma Prieta	Capitola	6.9	15.2	0.53
Duzce, Turkey	Bolu	7.1	41.27	0.728
Friuli，Italy	Tolmezzo	6.5	15.8	0.35
Imperial Valley	Delta	6.5	22	0.35
Northridge	Canyon Country-WLC	6.7	12.4	0.48
San Fernando	LA-Hollywood	6.5	22.8	0.21
Superstition Hills	El Centro Imp.Co.	6.5	18.2	0.36
Hector Mine	Hector	7.1	11.7	0.34
Kocaeli Turkey	Duzce	7.1	15.4	0.36

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2.2   地震动强度指标及性能水平的确定

地震动强度参数对结构易损性分析及结果模拟的有效性起着重要的作用。多高层RC框架结构地震反应以基本振型反应为主，S_a（T₁，5%）作为输入地震动参数时，可以更合理地揭示地震动对这类结构的破坏作用（叶列平等，2009）。因此，本文选取S_a（T₁，5%）作为地震动强度指标，同时选取最大层间位移角θ_max作为结构损伤指标。

取S_a（T₁，5%）的最大值为1g，分析时，首次取S_a（T₁，5%）为0.05g，以0.1g为增量在0.05—1g间取值。将结构最大层间位移角θ_max达到10%或IDA曲线上切线斜率为弹性斜率20%所对应的地震强度较小点作为结构倒塌点。

FEMA356定义了立即使用（IO）、生命安全（LS）和防止倒塌（CP）3个性能水平下结构层间位移角的限值（FEMA356，2000）；《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）将结构的破坏划分为5个等级，并给出了相应的层间位移角参考值（中华人民共和国住房和城乡建设部等，2010）。本文结合FEMA356、《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）（简称抗规）相关规定及黄悠越（2012）的相关研究成果，确定了各状态的层间位移角限值[θ]（表 2）。

表 2  不同性能状态下层间位移角限值

Table 2.  Definition of drift angle between layers in different performance states

正常使用	基本可使用	修复后使用	生命安全	倒塌
[θ]≤1/550	1/550＜[θ]≤1/220	1/220＜[θ]≤1/100	1/100＜[θ]≤1/50	[θ]＞1/50

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3.   算例分析

3.1   工程概况

某6层办公楼，首层层高4.5m，其余层高3.6m，结构平面布置图如图 3所示。结构抗震设防烈度Ⅷ度（0.2g），设计地震分组为第2组，Ⅱ类场地；梁柱混凝土强度等级为C30，梁柱纵筋采用HRB400，箍筋采用HPB300；地面粗糙类别B类，基本风压0.65kN/m²，梁柱构件截面参数与楼（屋）面荷载见表 3。

图 3  结构平面布置图

Figure 3.  Structural plane layout

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表 3  楼（屋）面荷载、结构构件参数

Table 3.  Roof load and sizes of main structural members

楼层	柱/mm×mm	梁/mm×mm	恒载/kN·m-2	活载/kN·m-2
1-3	600×600	300×600	5.5	3.5
4-5	500×500	250×500	5.5	3.5
6	500×500	250×500	6.5	0.5

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3.2   有限元分析模型

本文进行增量动力分析（IDA分析）时采用Perform-3D有限元分析软件。该软件由伯克利的Powell教授开发，具有完备的材料、构件模型库，稳定可靠的算法，受到国内外学术界及工程界的广泛应用与认可。由于结构平面布置规则，仅取中间一榀横向框架进行分析。结构构件中梁、柱单元采用纤维模型，两端的塑性铰区定义为非弹性纤维截面段，塑性铰长度取梁、柱截面高度的0.5倍。核心区约束混凝土采用Kent-park本构模型，钢筋采用非屈曲弹塑性本构模型，钢筋屈服后的刚度为初始刚度的1%。各材料强度参数取其平均强度值。此外，框架柱考虑P-Δ效应并假设楼板平面内刚度无限大，结构阻尼采用Rayleigh阻尼，不考虑模态阻尼。

3.3   概率地震需求分析

利用Perform-3D软件对结构进行弹塑性时程分析，得到不同地震加速度下的最大层间位移角，如图 4所示。图中每列竖向数据点为相同地震加速度下结构响应。水平虚线为不同性能水平限值，从上到下依次为倒塌、生命安全、修复后使用、基本可使用、正常使用5个等级。

图 4  最大层间位移角与S_a（T₁，5%）关系

Figure 4.  Relationship between maximum inter story drift angle and S_a(T₁, 5%)

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从图 4可以看出，规范设计与能量方法设计的结构随着地震动加速度的增大，结构层间位移角随之增大，同时层间位移角的离散程度也变大。相同地震动水平下，能量方法设计结构的层间位移角总体上小于规范方法设计结构。

对于钢筋混凝土框架结构，结构层间位移角服从对数正态分布（Erberik等，2004；李刚等，2004）。因此，对相同地震加速度下结构需求IDA数据进行统计分析，得到相同地震加速度下结构最大层间位移角服从对数正态分布，因此将结构地震需求$\mu $的概率密度函数用对数正态分布函数表示，并由结构的需求对数均值$\bar \mu $和对数标准差$\bar \sigma $定义，即：

图 5给出了2种设计方法设计的结构在设防地震、罕遇地震作用下结构的对数正态分布概率密度函数，图中竖向虚线对应不同的性能水平依次为正常使用、基本可使用、修复后可使用、生命安全、倒塌5个等级。由图可以看出，无论是能量方法设计的结构还是规范设计的结构，在设防地震下，结构地震反应主要分布在层间位移角为0.002—0.008的区间，2种结构基本处于基本可使用状态，二者概率相差不大；罕遇地震下，2种结构地震反应大致分布在层间位移角为0.0046—0.015的区间，结构处于修复后可使用状态的概率最高，处于生命安全状态的概率次之，处于基本可使用状态的概率最低，但二者的破坏概率有明显不同，能量方法设计结构的破坏概率小于按照规范设计结构的破坏概率。

图 5  层间位移角概率密度分布图

Figure 5.  Probabilitic density distributing diagram of drift angle between layers

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3.4   地震需求概率模型

假设地震动强度指标IM与结构需求参数DM服从指数正态分布（龚思礼，2003），其表达式为：

式中：a、b为回归系数。

将图 4中的数据取对数，再进行线性回归，如图 6所示。

图 6  结构概率地震需求模型

Figure 6.  Probabilistic seismic demand models of the structures

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基于能量方法抗震设计结构的地震需求模型线性回归方程为：

基于规范抗震设计结构的地震需求模型线性回归方程为：

式（4）、（5）拟合相关系数分别为0.9758、0.9722，接近1，说明回归对散点拟合程度较好。

3.5   结构地震的易损性曲线

地震易损性曲线作为结构易损性分析的一种形式，可以获得结构地震反应参数达到指定破坏状态下结构抗震能力参数的超越概率，其表达式为：

式中：${\mu _1}、{\mu _2}、{\beta _c}、{\beta _d}$分别为结构地震需求参数、结构抗震能力参数的均值、结构地震需求对数标准差、结构抗震能力参数标准差，${\mu _1}$与${\mu _2}$服从对数正态分布（Erberik等，2004）；$\varphi (x)$为标准正态分布。当IM以S_a（T₁，$\xi $）为自变量时，$\sqrt {\beta _c^2 + \beta _d^2} $＝0.4（龚思礼，2003），将地震需求模型代入式（6）中得出结构易损性曲线，如图 7所示。

图 7  结构易损性曲线

Figure 7.  Vulnerability curves of structures

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由图 7可以看出，随着地震动的增大，2种结构从基本完好到倒塌，结构的易损性曲线逐渐变得平缓，超越概率逐渐变小，其符合结构设计准则，同时表 4给出了2种方法设计结构的各极限状态的超越概率。

表 4  结构破坏概率矩阵

Table 4.  Damage probability matrix of the structure

地震水准${S_a}({T_1}, \xi)$/g	性能水平/%
	正常使用		基本可使用		修复后使用		生命安全		倒塌
	能量方法设计	规范设计	能量方法设计	规范设计	能量方法设计	规范设计	能量方法设计	规范设计	能量方法设计	规范设计
多遇地震	87.39	86.6	12.61	13.4	0	0	0	0	0	0
设防地震	12.19	9.18	61.15	54.73	19.92	26.79	6.31	8.61	0.43	0.69
罕遇地震	1.2	0.76	20.82	13.59	18.89	20.8	55.97	60.62	3.12	4.23

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由图 7及表 4可知，在多遇地震下，能量方法设计结构与规范设计结构超过正常使用状态的概率为12.61%和13.4%；设防地震下能量方法设计结构与规范方法设计结构达到“正常使用”状态、“基本可使用”状态、“修复后使用”状态、“生命安全”状态的概率分别为12.19%、61.15%、19.92%、6.31%和9.18%、54.73%、26.79%、8.61%；罕遇地震下能量方法设计结构与规范设计结构分别有55.97%和60.62%的概率达到生命安全状态。相同地震动作用下按规范设计的结构破坏状态比能量方法设计的结构破坏状态严重。

ATC-63（2008）报告建议：“设防大震下倒塌概率小于10%即认为达到大震性能的要求”，框架结构的CMR限值为2.3，CMR为反应结构抗倒塌能力指标，值越大结构抗倒塌能力越强，其表达式为：

其中，$I{M_{50\% }}$为对应50%倒塌概率的地震动强度指标；$I{M_{大震}}$为对应5%阻尼比的基本周期谱加速度S_a（T₁）。

由图 7可知，能量方法设计结构IM_50%为1.09g，本文IM_大震取为0.4g，计算得到罕遇地震下能量方法设计结构的CMR为2.7，接近倒塌状态的概率仅为3.12%，远远低于10%。

3.6   弹塑性应变能E_p在构件中的分配

基于能量抗震设计方法重点在于确定罕遇地震下结构中各构件的弹塑性应变能E_p需求（叶列平等，2014）。受篇幅限制，本文仅对结构中梁柱弹塑性应变能所占比例进行统计，E_Bp记为框架梁弹塑性应变能，${E_{{\rm{Cp}}}}$为框架柱弹塑性应变能。由于地震动的随机性，二者的比例具有一定的离散性，因此，取全部地震动计算结果的平均值加1倍方差，粗略估计二者的比值，如图 8所示。

图 8  梁、柱弹塑性应变能所占比例

Figure 8.  The proportion of elastic plastic strain energy of beam and column

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由图 8可知，能量方法设计的RC结构中梁塑性应变能${E_{{\rm{Bp}}}}$所占比例远大于柱塑性应变能${E_{{\rm{Cp}}}}$；另一方面，能量方法设计的结构梁弹塑性应变能所占比例远大于规范设计的结构梁弹塑性应变能；而对于柱塑性应变能${E_{{\rm{Cp}}}}$，前者远小于后者。这说明能量方法设计RC框架结构中框架梁为主要的耗能构件，耗散绝大部分能量，从而避免了框架柱发生严重破坏。

4.   结论

本文以“强柱弱梁”耗能机制为目标，采用基于能量方法的抗震设计对某6层RC框架结构进行设计，并对其进行IDA分析，得出如下结论：

（1）通过IDA分析，获得了结构在不同强度地震下的动力响应，建立了结构易损性曲线，进而得到结构在不同地震水准下的破坏概率，为结构震灾损伤评估提供参。

（2）基于能量方法设计结构在多遇地震下基本处于正常使用极限状态，设防地震下达到基本可使用状态的概率为61.15%，罕遇地震下达到接近倒塌极限状态的概率为3.12%，满足现行抗震设计规范规定的“小震不坏、中震可修、大震不倒”的设防目标。

（3）罕遇地震下，能量方法设计结构的抗倒塌能力储备系数高于ATC-63（2008）报告规定的CMR值，具有较强的抗倒塌能力，同时结构中梁构件能充分发挥其在整体结构耗能的优势。