引言

桥梁抗震设计的一个重要依据就是桥梁动力响应的分析结果。随着计算机技术的进步和大型有限元分析软件的开发，结构动力响应时程分析对结构弹塑性反应的计算已经能达到非常精确的程度。但是结构在不同地震动输入下反应差别很大（闫维明，2009；黄信，2012），如何确定合理的地震动输入模式成为当下研究的热潮。

地震动在传播过程中会产生变化，其原因包括4个方面（刘海明等，2011）：地震动的行波效应、地震动的部分相干效应、地震动的衰减和局部场地对地震动的影响。刚开始人们考虑地震动的空间变化主要是行波效应对于大型大跨桥梁地震反应的影响，即地震动传播的波形不变而仅仅相差一个相位（Der Kiureghian等，1992）。一些研究表明考虑行波效应下的地震动非一致输入对于大跨度结构影响非常大，在桥梁抗震设计的时候需要考虑，有的三维分析结果显示非一致输入下斜拉桥地震反应增大，主梁轴力甚至可增大到6—10倍（刘海明等，2011）。但是随着研究的深入，仅仅考察存在非一致相位差这种单一的情况是不够的。美国加州交通运输部在对旧金山西海湾大桥、加利福尼亚圣地亚哥科罗纳多桥等开展的抗震分析中，采用了考虑空间变化的非一致地震动输入（Zerva等，2002）。Novak等（1979）首先将相干性的数学模型引入地震工程领域，描述地震动的空间相关性。随后，大量基于数学原理而建立相关函数的文章发表，其中大部分都是基于实际台阵测量拟合和半经验半理论的方法（冯启明等，1981；Luco等，1986；王玉石等，2016）。然而，以密集台阵的观测数据为基础，借助随机场理论（金星等，1994；杜修力等，1994）建立地震动空间相关性或相干性模型是基于数学原理统计而得出的，对于不同的场地，特别是山区的一些场地，就会存在一定的出入（周国良，2010；杨宇等，2011），而且考虑相干模型的距离往往比较长，对于小跨度的常规桥梁不一定适用。

本文拟采用李小军（1993）和廖振鹏（2002）提出的时域集中质量有限单元法和透射边界相结合的一种波动显式时域有限元法，进行工程场地三维地震反应分析。将计算得到的不同地表地震动作用于一座常规的双曲拱桥桥墩处，对比一致输入和考虑行波效应输入的地震反应结果，研究局部场地效应对常规桥梁的影响规律，为常规桥梁抗震设计或行业规范的制定提供科学依据。

1.   研究方法

1.1   多点激励下的桥梁运动方程

在绝对坐标系下，地面与结构一起运动，结构自由度可分成上部结构自由度及与基础相连的支座自由度，此时根据动力方程一般形式推导的地震力多点激励下结构的动力平衡方程可写成：

式中，下角标为a的为结构非支承处的节点，下角标为b的为结构支承点处节点，$\ddot U $、$ \dot U $和U为节点运动的加速度、速度和绝对位移，M、C、K分别为结构的质量，阻尼和刚度矩阵，$ {P_{\rm{b}}}$为桥梁结构支撑处节点力。

将位移分解为拟静力和动力位移：

式中，$U_{\rm{a}}^{\rm{s}} $为支撑点导致的拟静力位移，$ U_{\rm{a}}^{\rm{d}} $为惯性力导致的动力位移。

展开式（1）的第一行：

令动力项反应为0，则反应式只剩下拟静力项，拟静力位移为：

其中[T_ab]被称为影响矩阵。将式（2）、（4）代入式（3），并忽略阻尼力的对支撑点的影响，式（3）可被简化为：

式（5）即为结构多点激励下的运动平衡方程，对于任意一个支撑点处都有一个独立的加速度$\left\{ {{{\ddot U}_{\rm{b}}}} \right\} $，进而得到结构反应。

1.2   场地土层反应的计算方法

本文选取了某地一个实际工程场地，采用李小军（1993）和廖振鹏（2002）提出的时域集中质量有限单元法和透射边界相结合的一种波动显式时域有限元法，对此工程场地进行三维地震反应分析。

以中心差分法为基础的显式有限元法，可以利用每个节点及其周围节点前两个时刻的位移值，通过简单的加、减、乘、除求得该节点任一时刻的位移值，不再需要解联立方程组。这既保持了有限单元法的灵活性，又节省了计算时间。

除人工边界上的节点外，其他所有计算点采用如式（6）所示的时域递推公式，以给出地震波在计算区域内传播的全过程：

式中，$ \left\{ {u_i^p} \right\}$为节点i在p时刻的位移向量，$ \Delta t $为计算时间步长，M_i、$ \left\{ {F_i^p} \right\} $和$ \left\{ {P_i^p} \right\} $分别为集中于节点i的质量、本构力向量和外力向量。多次透射边界MTF是由廖振鹏及其合作者提出并逐步完善的，属时域高精度局部人工边界，其基本原理是将人工边界点现时刻的运动用边界点及其相邻内点的前一时刻和前几个时刻的运动来表示。根据波传播视速度（即人工波速）和传播方向的假设，以及对误差波反复应用透射公式消除波的反射。人工边界上外行波$ (p + 1)\Delta t $时刻的节点位移向量由式（7）递推得到：

式中，N为透射阶数，$u_0^{p + 1} $是人工边界上O点在$(p + 1)\Delta t $时刻外行波的位移向量，j为外传波垂直于人工边界的单位距离，$ u_j^p $是由O点沿与边界垂直方向向内$ j{c_{\rm{a}}}\Delta t $距离处的外传波$ p\Delta t $时刻的位移向量。$ \Delta t $为时间步距，c_a为人工波速，$ C_j^N $为二项式系数，由式$ C_j^N = \frac{{N!}}{{(N - j)!j!}} $确定。

2.   计算模型

2.1   桥梁模型

桥梁动力时程分析采用Abaqus大型有限元软件计算实现。本研究中，桥梁为混凝土15孔双曲拱桥，全部为C30混凝土。桥梁全长467.7m，边跨27.8m，中跨31.7m，桥宽17m，桥墩高20m。桥梁模型全部采用实体单元，混凝土采用C3D8单元，钢筋采用T3D2单元模拟，利用埋入单元将钢筋内嵌到混凝土当中。图 1为桥梁的有限元模型，表 1为桥梁的振型。

图 1  桥梁有限元模型

Figure 1.  Finite element model of the bridge

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表 1  桥梁模型振型

Table 1.  Mode shape of the bridge model

阶次	频率/Hz	周期/s
1	0.4304	2.324
2	0.6081	1.644
3	0.6838	1.462
4	0.7826	1.278
6	0.9081	1.110
12	1.3642	0.733
20	2.3865	0.419

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2.2   场地土层三维反应分析

假设地震波由下部半空间向上垂直入射，在t＝0时入射波到达计算模型的底边界面开始进行时域递推，计算得到地面桥墩处加速度时程14条。根据设计反应谱拟合峰值加速度为0.20g的地震动时程并将其峰值减半，作为场地反应分析的入射地震波。

计算模型：图 2为截取的某实际的局部非均匀场地，此场地特点是靠近山体，基岩面由左至右逐渐变浅，依据钻探所揭露的地层可知，场地地层分别为第四系人工堆积土（耕植土）-第四系冲湖积层（粘土、淤泥、圆砾、角砾等）-白云质灰岩。按照各土层性质和平均剪切波速的不同分为了6层，包括不同性质的黏土2层、淤泥质土、淤泥质黏土、黏土夹角砾和白云质灰岩。桥梁架设在此场地之上，各个桥墩处的位置及输出的地震动编号（A1—A14）如图 2所示，土层相关参数见表 2，计算有限土体模型尺寸为1000m×50m×100m（长×宽×深）。

图 2  土层分布及桥墩位置（单位：m）

Figure 2.  Distribution of soil layer and position of bridge piers(unit: m)

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表 2  土层物理及力学参数

Table 2.  Physical and mechanical parameters of soil

土层类别	成分	剪切波速/m·s－1	密度/kg·m－3	泊松比	瑞利阻尼系数β
淡黄色	表面黏土	234	1.49	0.40	0.20
绿色	淤泥质土	211	1.40	0.44	0.15
青色	淤泥质黏土	288	1.46	0.40	0.15
黄色	粘土	355	1.57	0.40	0.14
蓝色	黏土夹角砾	487	1.59	0.40	0.11
红色	白云质灰岩	780	1.93	0.34	0.10

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3.   计算结果与分析

3.1   场地地震反应计算结果

图 4为土层下卧基岩输入地震动和地表桥墩处的输出地震动加速度时程、傅氏谱和加速度反应谱的对比图。可以看出，输出的14条地表地震动的加速度峰值都有一定程度的放大，与自由基岩地震动相比最大放大1.11倍，最小放大1.005倍；而周期小于0.2s的加速度反应谱有明显的放大效应，桥梁第一周期2.3s的加速度反应谱也有1.25倍左右的放大。从A1—A14的各个输出加速度来看，在各个地震动峰值加速度中，A14点的227.5gal为最大值，A2点的204gal为最小值，各个地震动的傅氏谱和加速度反应谱都有一定的差异。

图 3  输入地震动时程A0（蓝色）与输出地震动时程A1至A14（黑色）时程特性比较

Figure 3.  Comparison of time histories between input wave (blue) and output wave (black)

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图 4  1至4号工况下桥梁关键部位地震响应

Figure 4.  Response of key position of the bridge under working conditions No.1 to 4

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3.2   桥梁结构反应有限元计算

计算分为6个工况，分别是：① 地震动A0直接作为桥梁每一个桥墩基础的一致输入地震动；② 上一节计算得到的场地地震动A1—A14分别作为桥梁14个桥墩的非一致输入地震动；③ 选取计算场地地震动A1—A14中峰值加速度最大的时程作为桥梁14个桥墩基础的一致输入地震动；④ 选取计算场地地震动A1—A14中峰值加速度最小的时程作为桥梁14个桥墩基础的一致输入地震动；⑤ 考虑视波速为400m/s的行波效应的非一致激励，输入地震动为A0；⑥ 考虑视波速为800m/s的行波效应的非一致激励，输入地震动为A0。

图 4为1至4号工况下的基底应力（图 4（a））、桥墩顶部位移（图 4（b））、桥面主梁应力（图 4（c））和桥梁胯间支撑应力（图 4（d））曲线，意在比较考虑场地效应的非一致激励与设计时程一致激励的桥梁地震响应。图 5为1、5、6号工况下的基底应力（图 5（a））、桥墩顶部位移（图 5（b））、桥面主梁应力（图 5（c））和桥梁胯间支撑应力（图 5（d））曲线，意在比较考虑行波效应的非一致激励与设计时程一致激励的桥梁地震响应。应力输出全部为Mises应力结果。

图 5  1、5、6号工况下桥梁关键部位的地震响应

Figure 5.  Response of key position of the bridge under working conditions No.1, 5 and 6

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图 4说明，在考虑场地效应的情况下，无论是一致激励还是非一致激励，桥梁地震响应整体上要比不考虑场地效应的情况大，最多放大了20%。在基底应力和桥墩顶面位移两项上，3号工况每个桥墩的结果基本都是最大值，相对于2号工况，其基底最大输出应力增大了10%左右。但是对于桥梁的桥面主梁应力，2号工况在部分桥墩处超过了3号工况，并且在最大桥面主梁应力输出上比3号工况放大了7%和17%。可见，考虑场地效应的非一致激励对于桥梁下部结构响应的影响较小，对桥梁上部结构响应的应力有放大效果，这可能是由于非一致激励引起桥墩间相互作用力加大，导致上部结构部分构件挤压造成。

图 5所示结果说明，与一致激励相比，考虑行波效应的非一致激励对桥梁关键部位响应的应力分布改变比较大，但其最大值反而减小了，减小最多近10%。随着视波速的增大，桥梁非一致激励的地震响应逐渐和一致激励接近。可见，考虑行波效应的非一致激励对此类桥梁的地震响应具有减弱效果。

从整体桥梁关键部位响应来看（表 3），桥梁下部结构响应的最大输出是考虑场地效应时输入最大峰值加速度地震动并在一致激励下的结果，而上部结构响应的最大输出是考虑场地效应时在非一致激励下的结果。同时，考虑行波效应的非一致激励对于桥梁的地震响应有明显的减弱效果，当视波速逐渐增加，行波效应的影响则逐渐减弱。可见，仅考虑行波效应引起的地震动非一致性开展桥梁地震响应分析并不具备保守性，在计算非均匀场地常规桥梁的地震响应时，设计输入的地震动必须考虑场地效应的放大作用。为简便可考虑一致激励，但应适当将桥梁上部结构的计算响应值增大至少20%，以为此类常规桥梁的抗震设防提供更偏于保守的结果。

表 3  全部工况下桥梁关键部位地震响应的最大值

Table 3.  The maximum response of key position of the bridge under all working conditions

工况	墩顶位移/m	基底应力/MPa	主梁应力/MPa	胯间支撑应力/MPa
1	0.22	28.71	7.66	28.58
2	0.25	30.42	9.64	32.12
3	0.26	33.28	8.29	30.18
4	0.24	29.35	8.30	28.79
5	0.20	22.99	4.62	25.73
6	0.22	28.40	7.57	28.74

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4.   结论

桥梁是公共交通的枢纽，是生命线系统的关键组成部分，在地震作用下若结构发生破坏，将会造成灾难性的后果，因此进一步完善桥梁设计理论有重要意义。国内外规范都指出大型桥梁需要考虑地震动的空间变化。许多学者的工作已证明，相对于一致激励，非一致激励对桥梁地震响应的影响是比较大的。但由于考虑非一致激励的方法不同和桥梁本身结构不同，得出的结论往往差别比较大。本文通过数值计算分析，研究了一种常规桥梁（跨径不超过150m）的多点激励地震响应，初步结论如下：

（1）本文选取的场地是山区进入平原的局部场地，场地的不均匀性主要是由于基岩面沿桥向不断变浅，软弱土层的厚度不断增大，在几百米范围内的地震动峰值加速度也在不断增大。最大的峰值加速度是自由基岩地震动的1.11倍，局部场地对周期小于0.2s的地表地震动加速度反应谱有明显放大作用，对桥梁第一周期2.3s处的地震动加速度反应谱也有1.25倍左右的放大。

（2）考虑局部场地效应下，无论是一致激励还是非一致激励，桥梁的地震响应都比不考虑局部场地效应时的大，最多放大20%左右。考虑局部场地效应下，非一致激励对于常规桥梁的下部结构响应的影响弱于一致激励，墩底响应的最大应力降低了10%左右。然而，非一致激励对于桥梁上部结构响应有一定影响。对于本文所研究的桥梁，拱梁应力放大近7%，纵向主梁应力放大近17%，这可能是由于非一致激励引起桥墩间的相互作用力加大，导致上部结构的部分构件挤压而造成。因此，对于建设在非均匀场地上的此类常规桥梁，偏于安全和简便的结构计算方法是：输入地震动在考虑场地影响的一致激励的同时，把桥梁上部结构安全系数调高至少1.2倍。

（3）很多学者证明行波效应对于大跨结构响应影响较大。对于本文研究的常规桥梁（跨度30m）在视波速较低时，在考虑行波效应的非一致输入下，桥梁地震响应相对于一致激励都有所有减弱，最多减少10%。而随着视波速的增加，行波效应的影响才逐渐减弱。因此，对于此类常规桥梁，考虑行波效应的非一致激励输入得到的桥梁地震响应的计算结果是不保守的，是否或者如何考虑行波效应的影响值得进一步研究。

（4）不同场地、不同结构的桥梁，其地震响应差别很大。本文只考虑了一种常规桥梁的非一致地震动输入响应。如果考虑多个不同跨度、长度，特别是大跨度桥梁，再通过分析比较，或许会发现非一致激励的影响规律。另外，输入地震动的频谱特性对本文所给出的研究结果也会有影响，这是后续研究应该关注的问题。