引言

土体的应力应变关系很复杂，通常具有非线性、弹塑性、剪胀性和各向异性等。迄今为止，学者们所提出的土体本构模型都只能模拟某种加载条件下某类土的主要特性，没有一种本构模型能全面地、正确地表示任何加载条件下各类土体的本构特性。另一方面，经验表明有些模型理论上虽然很严密，但往往由于参数不易获取，从而影响了其实用性或使计算结果出现一些不合理的现象；相反，有些模型尽管形式简单，但常由于参数物理意义明确，容易确定，计算结果反而较为合理。因此，在进行土动力学问题数值模拟时如何选择本构模型，以及了解使用不同本构模型时对计算结果会产生什么样的影响，对我们合理地解释和判断数值分析结果就显得非常重要。正如沈珠江院士在其经典著作《理论土力学》中所述：“现代土力学的核心问题是本构模型。一个优秀的土工工程师必须对土的本构模型有基本的了解，掌握常用的本构模型的适用性与局限性，并善于选用适应实际工程特点的模型”（沈珠江，2000）。

国内有不少学者已对土的基本特性和本构模型进行了很好的阐述，如姚仰平等（2012）将土的力学特性分成基本特性、亚基本特性与关联基本特性3大类，并论述了常用岩土本构模型对上述特性的反映。黄茂松等（2016）总结了饱和黏土、砂土及堆石料等粗粒土的基本力学特性及常用本构模型对这3类土的适用性。在场地动力反应分析和参数敏感性分析方面国内外也有大量的研究成果，如Józsa（2011）针对某一挡土墙结构研究了土的泊松比、弹性模型的变化以及不同的本构模型（摩尔库伦模型和土体硬化模型）对侧向变形的影响。Sigarán-Loría等（2007）研究了地震荷载下滑坡的几何形状和土的剪切模量等参数对滑坡稳定性分析的影响。国内，施春花等（2009）、蒋其峰等（2014）和史丙新等（2015）则在大量实验数据的基础上分别针对北京地区粉质粘土、渤海海域粉质粘土以及成都平原粘性土的动剪切模量和阻尼比进行了统计研究，给出了不同深度下土的动剪切模量和阻尼比的平均值，并分析了其在场地地震反应分析中的适用性。

目前在岩土本构模型方面的研究多集中在土的基本特性和强度理论方面，侧重于完善现有理论和提出新的模型，对不同本构模型在应用方面的对比研究较少；而在场地地震反应分析和参数敏感性分析方面则侧重于具体结构的动力反应特点研究或某些具体物理参数的变化对计算结果的影响，而较少关注本构模型本身的理论局限性和适用性。在此背景下，本文利用PLAXIS 2D软件中的土工实验模拟功能分别对4种常用的岩土材料本构模型——线弹性模型（Linear elastic model，LE）、摩尔库伦模型（Mohr-Coulomb model，MC）、土体硬化模型（Hardening Soil model，HS）和小应变土体硬化模型（Harding Soil model with small-strain stiffness，HSS）在往复荷载下的理论滞回特性进行了对比分析，进而研究了不同本构模型的选择对均匀场地地震反应分析结果的影响，并分析了不同本构模型中的各主要参数的变化对数值分析结果的敏感性。研究结果为土动力学问题数值模拟中如何选择本构模型和合理判断数值分析结果提供了参考依据。

1.   常用岩土本构模型在往复荷载作用下的滞回曲线对比

PLAXIS 2D软件中的“土工试验”工具是基于单质点算法来模拟常规土工试验的一个快捷程序，无需建立完整的有限元模型即可得出相应的模拟结果（刘志祥等，2015a）。结合某已指定本构关系的土体材料，可模拟其在常规土工实验环境下，如三轴试验、固结试验、等应变率压缩试验（CRS）、单剪试验（DSS）、循环荷载单剪试验（CDSS）等环境下的力学特性。通过观察所输出的滞回曲线与阻尼比等参数特征，可大概判断出该类本构关系的适用性和局限性。本节主要采用其中的CDSS实验来模拟4种常用的岩土本构模型——线弹性（LE）模型、摩尔库伦（MC）模型、土体硬化（HS）模型、小应变土体硬化（HSS）模型在往复荷载作用下的力学行为。

基本试验参数如下：剪切波速为V_S＝97.12m/s，弹性模量E＝5×10⁴kN/m²，泊松比$ \upsilon '0.3 $，压缩模量为$ {E_{{\rm{oed}}}} $，可取为与标准三轴排水试验割线刚度$ E_{50}^{{\rm{ref}}} $和侧限压缩试验切线刚度$ E_{{\rm{oed}}}^{{\rm{ref}}} $相等，$ {E_{{\rm{oed}}}} = E_{50}^{{\rm{ref}}} = E_{{\rm{oed}}}^{{\rm{ref}}}$＝67.31×10³kN/m²，试验时初始应力取200kN/m²，采用应变控制，最大应变幅值为0.48%。

在保持实验环境和实验参数相同的情况下，可分别得出荷载循环1次和多次时不同岩土本构模型的理论滞回曲线，结果如图 1-4所示。

图 1  线弹性（LE）模型滞回曲线

Figure 1.  The hysteretic behavior for linear elastic models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 2  摩尔库伦（MC）模型滞回曲线

Figure 2.  The hysteretic behavior for the MC models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 3  土体硬化（HS）模型滞回曲线

Figure 3.  The hysteretic behavior for the HS models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 4  小应变土体硬化（HSS）模型滞回曲线

Figure 4.  The hysteretic behavior for the HSS models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

1.1   LE模型

从图 1可看出，对于线弹性（LE）模型，不管试验时荷载幅值取多大，也不管荷载循环次数是多少，其滞回曲线都是一斜直线，这与其理论假设是一致的。因此，该模型可用于描述遵循各向同性线弹性胡克定律的材料的行为。由于岩土材料的力学行为具有明显的非线性和塑性，所以用LE模型来模拟岩土材料的性状有很大局限性。一般情况下，对于土体所处应变比较小的环境，如机器振动引起的动力问题可采用此模型（谢定义，2011）。当然更多的是对岩土工程内部的刚性结构，如板、桩等结构单元以及混凝土材料、硬岩层等使用线弹性模型进行简化模拟。

1.2   MC模型

摩尔库伦（MC）模型属于一阶模型，可在一定程度上描述岩土材料的特性，由于参数易于获取，且一般情况下可以较好地描述土的破坏应力状态，在岩土工程中有着广泛应用。由于针对同一土层使用一个常刚度参数，因此可以相对快速地预估变形结果。但其不能考虑土体的刚度与应力、应力路径相关的特性，也不能考虑土体刚度的各向异性，所以一般用于岩土性状的初步近似。

1.3   HS模型

土体硬化（HS）模型为二阶高级本构模型，属于双曲线弹塑性模型，构建于塑性剪切硬化理论框架，即考虑了剪切硬化，可模拟主偏量加载引起的不可逆应变。同时，该模型还考虑了压缩硬化，可模拟土体在主压缩条件下的不可逆压缩变形。HS模型的一个基本特征是考虑了土体刚度的应力相关性，这是该模型比MC模型先进的地方之一。但其局限性在于，由于土体硬化模型是各向同性的硬化模型，因此不能考虑土的剪胀和结构性变化引起的软化特点，也不能区分小应变情况下具有的较大刚度和工程应变水平下减小的刚度。

1.4   HSS模型

小应变土体硬化（HSS）模型为弹塑性双曲线模型，其在HS模型的基础上考虑了土的受荷历史和刚度的应变相关性，在一定程度上可以模拟循环加载。该模型可以模拟从小应变（如低于10^-5的应变）到大应变（如高于10^-3的工程应变）范围内土体的不同响应。但该模型不能考虑循环加载过程中的软化效应，也不能考虑由于土的剪胀和结构性变化引起的软化效应。另外，HSS模型无法真实地考虑土体在循环荷载下不可逆体积应变的累积行为，即荷载单次和多次循环实验曲线所包围的面积几乎一致。

1.5   土工实验模拟结果的对比分析

通过对比以上不同本构模型在往复荷载下的实验结果可以发现：① 不同本构模型在往复荷载下的耗能能力是不同的。在本次模拟的试验环境中，LE模型由于假设没有塑性变形产生，所以其滞回环面积为0，无法反映土体的材料阻尼；MC模型所反映的材料阻尼比约为10%左右；HS和HSS模型所反映的材料阻尼比较接近，均远大于MC模型结果，约为50%左右。由此可以推断出，当采用上述本构模型计算岩土结构动力反应时，LE模型所得结果最大，其次为MC模型结果。HS模型与HSS模型所得结果比较接近，由于它们所反映的材料阻尼最大，所以其计算结果应该最小。② 无论哪一种模型，均无法真实地反映土体这种材料在循环荷载下的应变累积性。这一点可以从单次循环与多次循环荷载下实验曲线的对比中看出。即，反应材料阻尼大小的阻尼比参数在不同循环次数下的数值非常接近，换句话说，只要不增加循环荷载的幅值，在后续的加载时将没有新的塑性变形产生。③ 不同本构模型的适用范围是不同的。在上述土工实验的模拟中，当采取的控制应变很小，如小于0.08%时，可以发现MC模型处于线弹性阶段，其滞回曲线如图 5所示。但在同样环境下，采用HSS模型时，其结果如图 6所示，即已经发生了塑性变形。由此可见，实际中不同性质的土体材料（比如软粘土和硬黏土等）在相同的动力荷载下，会表现出不同的性状，有的尚处于弹性阶段，有的已经进入了塑性阶段，也就需要相应采用不同的本构关系来反映这种性状。

图 5  摩尔库伦模型结果

Figure 5.  The hysteretic behavior for the MC model

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 6  小应变土体硬化模型结果

Figure 6.  The hysteretic behavior for the HSS models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.   不同本构模型对均匀场地动力反应结果的影响

2.1   算例参数

采用均匀场地模型，土层深20m，为消除动力分析时人工边界条件的影响（楼梦麟等，2003；潘旦光等，2005），取水平方向尺寸为200m，粘弹性边界。土的密度为$ \rho = 1470{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} $，剪切波速为V_S＝97.12m/s，场地卓越周期为0.82s，阻尼比设为10%。输入正弦波荷载，振幅取0.01m。为考察不同激振频率的影响，分别取与场地一阶共振和二阶共振时的1.22Hz和3.64Hz，以及远离共振区的0.5Hz和2.5Hz作为激振频率。采用有限元软件PLAXIS 2D中的动力分析模块完成不同本构模型下场地的动力反应计算。有限元网格如图 7所示，共含102个15节点三角形单元，925个节点。各本构模型参数如表 1。其中常规参数，如弹性模量，由场地剪切波速确定。$ \upsilon ' $、$ {c'_{{\rm{ref}}}} $、$\varphi ' $由参考文献（彭文斌，2008）中相应土类的经验值确定。HS和HSS模型中的高级本构参数则由文献（刘志祥等，2015b）的经验公式根据常规参数求出。

图 7  场地有限元模型

Figure 7.  Finite element model of the site

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表 1  本构模型的参数

Table 1.  The parameter of constitutive model

本构模型	LE模型	MC模型	HS模型	HSS模型
E′/kN·m－2	50×103	50×103
υ′	0.3	0.3
$ {c'_{{\rm{ref}}}} $/kN·m－2		10	10	10
φ′/°		20	20	20
$ E_{50}^{{\rm{ref}}} $/kN·m－2			67.31×103	67.31×103
$ E_{{\rm{oed}}}^{{\rm{ref}}} $/kN·m－2			67.31×103	67.31×103
$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $/kN·m－2			201.93×103	201.93×103
$ {\gamma _{0.7}} $				1.0×10－4
$ G_0^{{\rm{ref}}} $/kN·m－2				1.25×105
注：表中E′、υ′、$ {c'_{{\rm{ref}}}} $、$ \varphi ' $分别为有效的弹性模量、泊松比、黏聚力和摩擦角，$ G_0^{{\rm{ref}}} $为小应变参考剪切模量，$ {\gamma _{0.7}}$为0.7倍初始刚度时的剪切应变。其余参数同文中说明。

下载: 导出CSV 

| 显示表格

2.2   计算结果对比

采用不同本构模型得出的自由场表面位移时程对比如图 8所示。

图 8  不同本构模型地表位移时程对比

Figure 8.  Comparison of displacement history among different models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

从计算结果可看出，在一阶共振时，本构模型的类型对计算结果的影响最为明显。此时LE模型所得结果最大，其次为MC模型，两者相差不大。而HS模型和HSS模型所得结果最小，远小于MC模型的结果，且几乎重合。二阶共振时，仍是LE模型所得结果最大，但其他3种模型所得结果接近。远离共振区后，不同本构模型的影响迅速减弱，其中在激振频率为0.5Hz时所得规律与共振时一致，只是不同模型所得结果的差别很小。在激振频率为2.5Hz时所得结果较为特殊，此时HS和HSS模型所得结果最大，且几乎一致；而LE模型和MC模型所得结果最小，也几乎一致。总体来看，LE模型受激振频率的影响非常明显，在共振时计算结果大幅增加，远离共振区后又大幅降低，而HS模型和HSS模型则受激振频率影响很小，其数值随激振频率的波动很小。MC模型的结果介于他们之间，总体更接近LE模型，这样就造成了上述现象，即在共振区附近，LE模型所得结果最大，而在远离共振区后，则又有可能在部分区域其所得结果最小。

由于共振时，不同本构模型所得结果差异最大。为详细分析其影响，下面分别给出了地表加速度时程以及不同深度处土层的位移峰值和加速度峰值的对比结果，如图 9及图 10所示。

图 9  不同本构模型所得地表加速度时程对比

Figure 9.  Comparison of acceleration history among different models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 10  本构模型对不同位置动力反应影响

Figure 10.  Comparison of dynamic response from different soil locations

下载: 全尺寸图片 幻灯片

从图 9可看出，在共振时，不同本构模型对加速度的影响规律与对位移的影响规律是一致的，都是LE模型和MC模型所得结果远大于HS模型和HSS模型，这一点从图 10中也可以反映出来。总体上看，越接近地表，动力反应越大，反映了土层的放大效应。不同本构模型对不同位置处的动力反应结果影响规律与地表相同，相对而言，对位移的影响更大一些。越靠近底部位置，土的动力反应越小，不同本构模型带来的差异也就越小，以至于HS和HSS两种模型所得结果几乎重合。

除上述算例之外，本文还对另外两种剪切波速的场地（v_S＝23.79m/s、v_S＝150m/s）进行了同样的数值模拟，其所反映的规律与此类似，不再赘述。

综上所述，不同本构模型对土层动力反应分析结果有着明显的影响，且影响规律复杂。在共振区附近，不同本构模型带来的影响最大，此时LE模型和MC模型所得结果远大于HS和HSS模型。激振频率远离共振区后，不同本构模型的影响降低。其中在部分区域，影响规律有可能相反，即LE模型所得结果最小。换言之，对同一种本构模型，在某些激振频率下所得结果可能偏安全，但在另外一些激振频率下所得结果可能偏危险。因此，在实际场地地震反应分析中，在选择本构模型时，不仅要考虑土体本身的力学特性（黏聚力、剪胀性、流变性等），还要考虑场地的卓越周期以及所输入地震波的主要频率成分（频率比），然后谨慎地选择本构模型，尽可能使计算结果偏于安全。

3.   不同本构模型参数的敏感性分析

通过前面的分析可以看出，在进行土动力学问题数值模拟时，不同的本构模型对计算结果会产生明显的影响。需进一步研究的是，对于同一种本构模型，其中哪些参数对计算结果的影响较大，而哪些参数的影响较小。利用PLAXIS 2D软件中的“敏感性分析和参数变化”这项功能可实现该研究。在使用此功能时需事先对本构模型的参数设定范围，如本文设置的各参数在其标准值上下20%的范围内变化。完成敏感性分析后，在选定分析的每个参数后面以百分制的方式给出相应的敏感性分数，分数的大小直观地反映了该参数在本构模型中的变化对最终动力分析结果影响的大小。

本文以自由场表面中心处的最大位移和最大加速度为参考，分别进行了本构模型的参数敏感性分析。由于所得影响规律类似，下面仅给出以最大位移作为参考时的结果。此时所得不同本构模型主要参数的敏感性分数如表 2所示。

表 2  不同本构模型主要参数的敏感性分数

Table 2.  Parameter sensitivity scores for different constitutive models

本构模型	$ E' $	$ \upsilon ' $	$ {c'_{{\rm{ref}}}} $	$ \varphi ' $	$ E_{50}^{{\rm{ref}}} $	$ E_{{\rm{oed}}}^{{\rm{ref}}} $	$E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $	$ {\gamma _{0.7}} $	$ G_0^{{\rm{ref}}} $
LE模型	88	12
MC模型	80	14	4	2
HS模型			0	3	1	1	95
HSS模型			1	4	2	2	43	7	41

下载: 导出CSV 

| 显示表格

从表 2可看出，对于LE模型和MC模型来说，弹性模量$ E' $和泊松比$ \upsilon '$对计算结果均有明显影响，相对而言，弹性模量的影响更大些，而黏聚系数$ {c'_{{\rm{ref}}}} $和摩擦角$ \varphi ' $的影响很小；对于HS模型，卸载/重加载刚度系数$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $的影响很突出，远大于其他参数的影响；而对于HSS模型，其卸载/重加载刚度系数$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $和小应变参考剪切模量$ G_{\rm{0}}^{{\rm{ref}}} $均对计算结果有明显影响，且影响远大于其他参数。

为验证上述结论，下面对各本构模型中敏感性分数大于10的参数（可称其为敏感参数）进行了专门研究。在其它参数不变的情况下，分析这些敏感参数的变化对自由场表面最大位移的影响规律，结果如图 11-14所示。

图 11  线弹性（LE）模型中各参数的变化对计算结果的影响

Figure 11.  The results for the LE models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 12  摩尔库伦（MC）模型中各参数的变化对计算结果的影响

Figure 12.  The results for the MC models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 13  土体硬化（HS）模型中$E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $的变化对计算结果的影响

Figure 13.  The influence of $E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $ on results from the HS models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 14  小应变土体硬化（HSS）模型中各参数的变化对计算结果的影响

Figure 14.  The influence of $ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $ and $ G_{\rm{0}}^{{\rm{ref}}} $ on results from the HSS models

下载: 全尺寸图片 幻灯片

可以看出，LE模型和MC模型的敏感参数均为2个，即弹性模量和泊松比，且影响规律类似。随着弹性模量的增加，动力反应结果初始平缓，随后降低；而随着泊松比的增加，动力反应结果近似线性增加。HS模型的敏感性参数只有1个，即卸载/重加载刚度$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}}$，随着该参数的增加，动力反应将会降低。HSS模型的敏感参数有2个，即卸载/重加载刚度$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $以及小应变参考剪切模量$ G_{\rm{0}}^{{\rm{ref}}} $，这2个参数对动力反应结果的影响与HS模型中$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $的影响规律几乎一致，即随着该参数的增加，动力反应都将会降低。

总的来看，无论是哪种本构模型，刚度参数的影响（如$ E' $、$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $、$G_{\rm{0}}^{{\rm{ref}}} $等）都是比较显著的，需要在设置时谨慎对待。而除此之外的其他参数对计算结果的影响相对较小，可适当放宽一些要求，或根据相近的工程资料估计确定。

4.   结论

本文利用PLAXIS 2D软件中的土工试验模拟、动力分析、参数敏感性分析等功能分别研究了4种常见的岩土本构模型——LE模型、MC模型、HS模型和HSS模型的力学特性以及参数变化对动力反应计算结果的影响，初步得到如下结果：

（1）通过循环单剪试验（CDSS）环境的土工试验模拟，对比了这4种本构模型的理论滞回曲线。从结果中可以看出，LE模型无法反映土的材料阻尼，只适用于动力荷载很小时的线弹性分析问题；MC模型所需计算参数很少，且容易确定，但由于所反映的材料阻尼较小，得出的动力反应结果一般会偏高，计算结果偏保守，可用于岩土工程的初步设计。HS模型和HSS模型反映的材料阻尼最大，两者的阻尼比几乎一致，但HSS模型可以反映小应变状态下的土的力学行为。无论哪种模型均很难准确地反映土体在卸载和再加载时的弹塑性行为以及循环荷载下的应变累积性。不同的本构模型均有各自的适用范围，实际选用时宜结合具体土类在拟承担的动力荷载下可能表现出的实际状态（如应变范围、剪胀还是剪缩，应变硬化还是软化等）来确定。

（2）通过对比不同本构模型的均匀场地动力反应结果可以看出，在共振时，本构模型的类型对计算结果的影响最大，远离共振区后，其影响明显减小。LE模型和MC模型所得计算结果受激振频率的影响很明显，而HS模型和HSS模型则受激振频率影响很小。一般在共振区附近，LE模型所得结果大于其他模型的结果，而在远离共振区时，结论有可能相反。所以，在进行实际土动力学问题数值模拟时，一定要结合土性条件、荷载条件慎重选择本构模型。

（3）通过参数敏感性分析，研究了不同本构模型中各参数的变化对动力反应结果的影响。如果将敏感性分数大于10的参数称为敏感参数，那么LE模型和MC模型的敏感参数均为弹性模量和泊松比；HS模型的敏感参数为卸载/重加载刚度$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $；HSS模型的敏感参数为卸载/重加载刚度$ E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}} $以及小应变参考剪切模量$ G_{\rm{0}}^{{\rm{ref}}} $。这些参数的变化对计算结果的影响很大，在选择时要慎重对待，尽可能准确设置。而除此之外的其他参数的变化对计算结果的影响则没有那么明显，在没有准确数据来源的情况下可参考相近工程近似确定。