引言

随着社会经济的快速发展，城市化程度的不断提高，城市人口的急剧增加，城市地上空间的开发与利用已接近极限，由此促进了城市地下空间的开发与利用，促进了以地铁盾构隧道为代表的地下结构工程的大规模兴建，下层盾构隧道（简称下层隧道）近距离穿越上层盾构隧道（简称上层隧道）的工程也越来越多。如北京地铁10号线三元桥站至亮马桥站盾构隧道左右线并行，最小净距仅为1.7m，6号线南锣鼓巷站至东四站区间上下行隧道叠落，间距仅为2.1m。其抗震问题成为城市工程抗震和防灾减灾研究的重要组成部分（权登州等，2015）。

针对地下结构抗震问题的设计和计算方法，从力学特性上可分为动力时程法和拟静力计算法两大类。动力时程法能够模拟地震波输入过程中各个时刻结构的内力和变形状态，准确地反映地下结构的地震响应特性。当然，在进行动力分析时需要注意动力加载方式和人工边界、力学阻尼及波的传播，以便完整地模拟土体与结构在地震过程的惯性作用以及相互作用。拟静力法主要有地震系数法（施仲衡，1997）、自由场变形法（Hashash等，2001）、反应位移法（川岛一彦，1994）、Pushover分析方法（刘晶波等，2008）以及整体式反应位移法（刘晶波等，2010）等。其中反应位移法的基本原理是通过地层位移来计算地下结构的地震响应，在一定程度上反映地下结构地震反应的特点。该方法理论清晰、计算简便，在众多的设计规范和工程中得到了广泛应用。

目前反应位移法只适用于单个结构，但在强震作用下，小间距盾构隧道夹土层的地震动反应对结构的内力和变形影响很大，现采用的计算模型存在一定缺陷，会增大计算结果的误差率。本文通过改进反应位移法的计算模型，对与下层隧道呈不同角度、间距、埋深等多种工况下的上层隧道横断面进行抗震研究，并与准确的动力有限元的模拟数值进行对比分析，同时对两种算法生成的数据进行曲线拟合，得到的拟合理论模型对提高反应位移法计算结果的精度具有重要的实际意义，也为后续深入研究奠定了基础。

1.   反应位移法概述

在地震动作用下，盾构隧道变形主要受周围地层的约束。反应位移法的基本原理是将地震荷载作用下地层周围的剪力、结构自身惯性力等施加于结构，同时把地层在地震时产生的位移差通过地基弹簧以静载的形式作用于结构上，从而求得结构的内力和变形等。

反应位移法最重要的一步是在结构周围设置地基弹簧，以模拟隧道与地层之间的相互作用，其系数可按计算公式或通过有限元方法求解。但隧道间距较小时，夹土层在强震作用下对结构产生不可忽略的影响，若采用上述方法只分析单个隧道结构，未考虑夹土层区域弹簧参数变化的影响，将使结构内力的计算结果产生误差（唐金良，2014）。

2.   改进反应位移法

2.1   改进模型

为克服反应位移法的计算模型未考虑夹土层弹簧变化这一不足，在反应位移法内容合理的基础上，改进反应位移法的计算模型。

基于有限元结构分析软件SAP84，改进计算模型：两条隧道夹土层等效为连接结构上两点的直弹簧，如图 1所示。结构的受力分析与其周围其他地基弹簧按反应位移法设置（蒋英礼等，2013）。

图 1  改进反应法计算模型

Figure 1.  Model of improved response deformation method

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2.2   夹土层弹簧刚度

结合地基弹簧常数的近似取值法（林皋，1990），拟定夹土层弹簧的计算公式如下：

式中，k为夹土层弹簧刚度；G为与地震震动最大应变幅度相应的地基土的剪切模量；A为夹土层弹簧反映的土体面积；S为两条隧道结构的间距。

2.3   拟合理论模型

采用上述改进模型对两个结构进行计算，不可避免会产生一些偏差，为简单有效地解决这个问题，通过与准确的动力时程法进行对比分析，提出了引入拟合理论模型来提高计算精度，使改进方法与动力时程法的结果相吻合。

在Matlab软件中对两种算法生成的数据进行拟合时，对函数对话框“Results”中的参数SSE（拟合误差方差的平方和，其值越小，拟合结果越好）与R-square（置信区间，越趋近1，拟合结果越好）进行不断对比和分析，同时参考Adjusted R-square（调整置信区间，越趋近1，拟合度越高），选出较合理的理论模型（唐家德等，2008；史立新等，2007）。

3.   算例

地铁隧道的相对位置主要存在并行、斜穿与下穿这3类情况，本章利用改进模型，在多种埋深、间距工况下，研究隧道的横向地震响应特性，并与动力时程法的数值结果进行对比分析。

基于Midas-NX有限元分析软件对算例进行分析。为提高计算精度（兰景岩等，2012），动力时程法所使用的地震波依据《北京地铁16号线工程场地地震安全性评价报告》，采用提供的50年超越概率为10%的加速度时程曲线，见图 2。土体遵从经典的Mohr-Coulomb破坏准则，盾构隧道结构采用弹性模型。进行静力计算时，土层两侧采用水平约束的人工天然边界；进行动力计算时，在模型底部竖直方向施加地震动的加速度边界，四周为粘弹性动力人工边界；动力分析是在静力计算获得应力场后进行的。

图 2  输入地震动加速度时程和加速度傅氏谱

Figure 2.  The acceleration time-histories and Fourier spectra of bedrock ground motion

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3.1   计算工况

以北京地铁17号线03标段区间盾构隧道为背景，衬砌外径为6m，内径为5.4m，厚度为0.3m。通过查阅并统计北京市地铁盾构隧道资料，设定上下层隧道所呈角度θ＝0°、30°、60°、90°，间距S＝2m、4m、6m、8m、10m、12m、14m，上层隧道埋深H＝8m、10m、12m、14m、16m。隧道尺寸与计算简图详见图 3。盾构隧道周围土层简化为代表北京地区常见的均一粉质黏土（施春花等，2009），结构与土体的参数如表 1所示。

图 3  隧道尺寸及计算简图

Figure 3.  Diagram of geometry and calculating for double orifice tunnels

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表 1  土体、隧道计算参数

Table 1.  Physical parameters of soils and tunnels

名称	模量/Pa		弹性模量	泊松比	重度/kN·m－3	粘聚力/Pa	内摩擦角/°
	压缩模量	动剪切模量
土层	9.1×107	8.92×107		0.33	19.4	31	18
衬砌			3×1010	0.20	25

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3.2   数值结果及分析

盾构隧道设计主要依据结构的弯矩值、轴力值及直径变化率，其值越大，结构变形越明显。在进行变化规律分析时，选取最大值进行数据处理。

3.2.1   弯矩分析

（1）对比分析

呈不同角度的两个隧道的变形模态基本一致，以上层隧道为例进行论述。上层隧道弯矩的最大值随埋深和间距呈规律性变化，见图 4，其中以动力时程法的模拟结果作参照，验证改进反应位移法的准确性。由图 4易知两种算法下弯矩最大值的变化规律基本一致：

图 4  上层隧道弯矩最大值变化图

Figure 4.  Variation of maximum moment of upper tunnel

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① 通过图 4（a）与（b）可知，埋深对弯矩值的影响最大，间距次之；与下层隧道位于同一角度、间距工况下的上层隧道，其弯矩最大值与单孔隧道的最大值均随埋深的增加而增加（杨宁波，2013）。

② 通过图 4（c）与（d）可知，在0°并行的情况下，两隧道的上层隧道在同一埋深。随着间距增大，弯矩最大值由先小于单孔隧道，然后增大到与单孔隧道近乎相同。在地震动作用下，当两条隧道间距较小时，由于下层隧道-夹土层-上层隧道惯性作用增强，提高整体结构稳定性，从而减小了上层隧道的差异位移，对上层隧道起到抗震的效果。随间距逐渐增大，抗震效果也随之减弱。随埋深的增加，上层隧道弯矩最大值趋于单孔隧道的速率越来越快。

③ 通过图 4（f）—（j）可知，在30°、60°并行与90°叠落的情况下，当上层隧道在同一埋深下，随着间距增大，弯矩最大值由先大于单孔隧道，然后减小到与单孔隧道近乎相同。下层隧道的开挖造成临近上层隧道的一定范围内土层应力的释放，在强震中，松弛的地层明显放大了上层隧道的地震反应特性，使其弯矩值出现大于单孔隧道的可能。弯矩最大值在隧道间距处于4—6m时出现峰值，该范围是设计双线隧道的薄弱区域。

在横断面抗震分析中应考虑内力值的分布区域（以30°并行的上层隧道为例，如图 5所示），弯矩最大值主要分布在上部拱腰两侧。

图 5  弯矩分布区域图（30°并行，埋深12m，间距6m，单位：kN·m）

Figure 5.  Distribution area of maximum moment (30°parallel tunnels, 12m depth, 6m interval, unit: kN·m)

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采用改进反应位移法计算时，在同一埋深与角度下，当隧道间距S≥8m时，弯矩值的变化不大，并且趋近于单孔隧道，这说明当两条隧道间距S≥8m时，可忽略夹土层地基弹簧的变化对上层隧道弯矩值的影响，按现有的反应位移法进行计算。

（2）拟合理论模型选取

基于Matlab软件进行计算，经残差曲线的对比分析，弯矩值拟合理论模型采用函数Cubic Polynomial（公式2）进行拟合，效果良好，如图 6所示。

图 6  弯矩最大值拟合曲线

Figure 6.  Fitting curve of maximum moment

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式中，f（x）为动力时程法弯矩值；x为改进反应位移法弯矩值；p₁、p₂、p₃、p₄为修正系数，其均值与取值范围分别为－1.00×10^－5（－4.88×10^－5，2.88×10^－5）、1.16×10^－3（－1.42×10^－2，1.65×10^－2）、1.20（－0.76，3.15）、－8.58（－88.69，71.53）。

拟合优度方面，拟合误差平方和（SSE）为0.04；置信区间（R-square）为0.95；调整置信区间（Adjusted R-square）为0.95。

3.2.2   轴力分析

（1）对比分析

轴力与弯矩的分析方法一致，即对每种工况下的最大值进行研究。两种算法下轴力最大值的变化规律基本一致，同时与改进位移法弯矩最大值的变化规律也一致，以30°并行的上层隧道为例，见图 7。

图 7  轴力最大值变化图（30°并行）

Figure 7.  Variation of maximum axial force (30°parallel tunnels)

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在地震动作用下，轴力最小值分布在隧道顶部区域，最大值基本上分布在结构下部拱腰附近，集中现象比较明显，以30°并行的上层隧道为例，见图 8。

图 8  轴力分布区域图（30°并行，埋深12m，间距6m，单位：kN）

Figure 8.  Distribution area of axial force (30°parallel tunnels, 12m depth, 6m interval, unit: kN)

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（2）拟合理论模型选取

基于Matlab软件进行计算分析，轴力值拟合理论模型采用Sum of Sin Functions函数（公式3）进行拟合，效果良好，曲线见图 9。

图 9  轴力最大值拟合曲线

Figure 9.  Fitting curve of maximum axial force

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式中，f（x）为动力时程法轴力值；x为改进反应位移法轴力值；a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为修正系数，其均值与取值范围分别为1.51×10³（5.69×10²，2.45×10³）、6.75×10^－4（－5.366×10^－5，1.40×10^－3）、6.25（5.98，6.51）、28.46（14.42，42.5）、1.41×10^－2（9.02×10^－3，1.92×10^－2）、－4.90（－10.42，0.63）。

在拟合优度方面，拟合误差平方和（SSE）为0.07；置信区间（R-square）为0.96；调整置信区间（Adjusted R-square）为0.96。

3.2.3   直径变化率分析

（1）对比分析

隧道属于柔性结构，选用隧道直径变化率作为隧道横向抗震的性能指标。直径变化率为${{k}_{0}}=\frac{\Delta {{D}_{\max }}}{D}$，其中$\Delta {{D}_{\text{max}}}$为直径的最大变化值（姚毅超，2012）。根据改进反应位移法生成的数据，分析隧道横截面变形量，得到直径的最大变化值，从而求出直径最大变化率，计算结果如表 2所示。

表 2  直径变化率（‰）

Table 2.  Diameter variation rate(‰)

工况	埋深/m	8	10	12	14	16
单孔隧道	间距/m	1.93	1.72	1.54	1.31	1.19
	2	1.28	1.19	1.06	0.97	0.91
	4	1.30	1.20	1.07	1.00	0.93
	6	1.28	1.21	1.04	0.98	0.88
0°并行	8	1.26	1.20	1.03	0.99	0.96
	10	1.29	1.17	1.07	0.96	0.94
	12	1.27	1.17	1.08	0.95	0.92
	14	1.26	1.18	1.06	0.97	0.90
	2	1.46	1.36	1.27	1.16	1.04
	4	1.42	1.37	1.28	1.17	1.07
	6	1.45	1.39	1.25	1.15	1.05
30°并行	8	1.47	1.37	1.25	1.14	1.07
	10	1.46	1.34	1.29	1.17	1.02
	12	1.44	1.38	1.3	1.16	1.05
	14	1.45	1.38	1.18	1.15	1.06
	2	1.63	1.57	1.39	1.22	1.07
	4	1.62	1.55	1.37	1.24	1.08
	6	1.65	1.53	1.40	1.24	1.05
60°并行	8	1.67	1.58	1.35	1.27	1.09
	10	1.60	1.48	1.38	1.21	1.08
	12	1.64	1.50	1.38	1.20	1.10
	14	1.63	1.55	1.37	1.22	1.06
	2	1.73	1.64	1.44	1.20	1.12
	4	1.77	1.66	1.45	1.18	1.11
	6	1.87	1.67	1.47	1.25	1.13
90°叠落	8	1.63	1.52	1.42	1.22	1.12
	10	1.58	1.52	1.41	1.23	1.17
	12	1.69	1.55	1.46	1.17	1.13
	14	1.83	1.57	1.42	1.22	1.14

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易知直径变化率受间距影响不大，随埋深增加而减小，且变化幅度很小；单孔隧道直径变化率最大，而在与下层隧道呈90°叠落、60°、30°、0°并行的情况下，上层隧道的直径变化率依次减小。该变化规律与动力时程法模拟的上层隧道的地震动反应特性类似，见图 10。

图 10  直径变化率（动力时程法）

Figure 10.  Diameter variation rate(finite element dynamic analysis)

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（2）拟合理论模型选取

基于Matlab软件与上述理论分析，用拟合理论模型的Fourier函数来拟合直径变化率，效果良好。曲线见图 11。

图 11  直径变化率拟合曲线

Figure 11.  Fitting curve of Diameter rate

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式中，f（x）为动力时程法直径变化率；x为改进反应位移法直径变化率；a₀、a₁、b₁、a₂、b₂、w为修正系数，其均值与取值范围分别为6.91×10^－2（－5.83×10^－2，1.97×10^－1）、5.75×10^－2（－2.46×10^－2，1.40×10^－1）、－2.30×10^－2（－0.61，0.56）、1.76×10^－2（－0.26，0.29）、1.51×10^－2（－0.21，0.24）、32.39（－14.13，78.91）。

在拟合优度方面，拟合误差平方和（SSE）为2.78×10^－3；置信区间（R-square）为0.97；调整置信区间（Adjusted R-square）为0.96。

4.   结语

（1）本文改进了反应位移法计算模型，通过在双线隧道之间设置夹土弹簧来反映土体-结构间的相互作用，提出了该弹簧刚度的计算公式。在此基础上，将上层隧道横断面的计算结果与准确的动力时程法模拟数据进行对比分析。

（2）在与下层隧道呈不同角度、间距、埋深的多种工况下，上层隧道横断面的抗震研究结果表明，两种方法所得的弯矩与轴力的最大值的变化规律基本一致：埋深对内力值的影响最大，间距次之；隧道水平并行时，上层隧道在同一埋深下，随着间距增大，内力值由先小于单孔隧道，然后增大到与单孔隧道近乎相同；隧道由斜穿变化到竖直下穿时，上层隧道在同一埋深下，随着间距增大，内力值由先大于单孔隧道，然后减小到与单孔隧道近乎相同，并且在4—6m时出现峰值，该范围是设计双线隧道的薄弱区域。同时，上层隧道直径最大变化率受间距影响不大，随埋深增加而减小，且隧道所呈角度越大变化率越大。

（3）弯矩最大值主要分布在上部拱腰两侧；轴力最小值分布在隧道顶部区域，最大值基本上分布在结构下部拱腰附近，集中现象比较明显。

（4）当隧道间距S≥8m时，内力最大值变化不大，并趋近于单孔隧道，这说明隧道间距S≥8m时，可忽略夹土层地基弹簧的变化对上层隧道内力值的影响，按现有的反应位移法进行计算。

（5）基于Matlab软件与准确的动力时程法，对改进模型的弯矩、轴力最大值和直径最大变化率分别采用Cubic Polynomial、Sum of Sin Functions、Fourier拟合理论模型进行修正来减少误差，拟合效果良好。

综上所述，本文提出的改进反应位移法较为合理，适用于小间距盾构隧道的抗震分析与设计。